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第六章 平行四边形 单元测试培优卷
一、选择题
1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
3．如图，已知在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD
C．AF＝CE D．∠BAE＝∠DCF
4．如图， ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
5．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，3）
6．如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得DA＝CA，EB＝CB．连接DE，若测得DE＝28m，则A，B之间的距离是（ ）
A．7m B．11m C．14m D．13m
7．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．145° C．110° D．130°
8．如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠FGD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．12.5 D．14
10．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE．下列结论：①AE＞CE；②S ABCD＝AB AC；③S△ABE＝S△AOE；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题
11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为 ．
12．已知，正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是正 ．
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD边的中点，连接OE，若∠ABC＝65°，∠BAC＝75°，则∠COE＝ ．
14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，BC＝6，则EF的长为 .
15．如图， ABCD对角线AC和BD相交于点O，EF过点O，且与AD，BC分别相交于点E，F．若AB＝5，BC＝6，OF＝2，则四边形ABFE的周长是 .
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
三、解答题
17．一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为90°，求这个多边形的边数和内角和度数．
18．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想BE与DF的关系并加以证明．
19．如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB＝8，BC＝6，求EC的长．
20．如图， ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及 ABCD的面积．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．求证：AF∥CE．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD．
（1）判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
（2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数．
23．平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB＝BG＝BE，AE交BG于点F．
（1）若AB＝3，∠BAD＝60°，求CE的长；
（2）求证：AD＝BF+CG．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
25．探索并解决下列问题：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PDC＝135°，∠APD＝ °；
（2）如图2，AB∥CD，∠PBA＝25°，∠PDC＝135°，求∠BPD的度数；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在直线AD上运动（点F不与A、D两点重合），连接BF、CF，∠ABF、∠DCF的角平分线交于点G，若∠ABF＝α，∠DCF＝β，写出∠G和α、β之间的数量关系并画出相应的图形．
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第六章 平行四边形 单元测试培优卷
一、选择题
1．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C．
【解析】∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．
故选C．
2．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】D．
【解析】设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
故选D．
3．如图，已知在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD
C．AF＝CE D．∠BAE＝∠DCF
【答案】C．
【解析】如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF＝BE，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、AF＝CE无法证明得到OE＝OF，故本选项符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意．
故选C．
4．如图， ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（ ）
A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm
【答案】B．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝7cm，OA＝OCAC＝3cm，OD＝OBBD＝5cm，
∴△AOD的周长＝AD+AO+OD＝7+3+5＝15（cm）．
故选B．
5．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（3，0），则点D的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（3，4） C．（4，2） D．（4，3）
【答案】C．
【解析】∵B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），
∴BC＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∵点A（0，2），
∴点D（4，2），
故选C．
6．如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得DA＝CA，EB＝CB．连接DE，若测得DE＝28m，则A，B之间的距离是（ ）
A．7m B．11m C．14m D．13m
【答案】C．
【解析】∵DA＝CA，EB＝CB，
∴A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴ABDE28＝14（m）．
故选C．
7．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．145° C．110° D．130°
【答案】A．
【解析】∵∠1＝145°，
∴∠BED＝180°﹣145°＝35°，
∴∠2＝∠B+∠BED＝90°+35°＝125°，
故选A．
8．如图，将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠FGD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C．
【解析】∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝90°﹣∠EGF＝90°﹣60°＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠AEF＝50°，
∴DC∥AB，
∴∠FGD+∠EGF+∠GEF+∠AEF＝∠AEG+∠DGE＝180°，
∴∠FGD+60°+30°+50°＝180°，
∴∠FGD＝40°，
故选C．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝8，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．12.5 D．14
【答案】D．
【解析】∵DF是Rt△ABF的中线，且AB＝8，
∴，
∴DE＝DF+EF＝7．
∵点D，E是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∴BC＝14．
故选D．
10．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE．下列结论：①AE＞CE；②S ABCD＝AB AC；③S△ABE＝S△AOE；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
【答案】D．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，
∵，
∴，即AE＝CE，①错误，故不符合要求；
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠EAC+∠ECA＝∠AEB，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC；②正确，故符合要求；
∵E为BC中点，O为AC中点，
∴，
∴，即S△ABE＝2S△AOE，③错误，故不符合要求；
由题意知，AD＝BC＝2AB＝4OE，
∴，④正确，故符合要求；
故选D．
二、填空题
11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为 ．
【答案】70°．
【解析】在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠C＝70°，
故答案为：70°．
12．已知，正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形是正 ．
【答案】九边形．
【解析】根据正多边形的外角和为360度可得：
360°÷40°＝9；
∴正多边形是正九边形；
故答案为：九边形．
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD边的中点，连接OE，若∠ABC＝65°，∠BAC＝75°，则∠COE＝ ．
【答案】40°．
【解析】∵∠ABC＝65°，∠BAC＝75°，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣65°﹣∠75°＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，E为CD边的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠COE＝∠BCA＝40°，
故答案为：40°．
14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，BC＝6，则EF的长为 .
【答案】6．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
由作图可知BF平分∠EBC，BE＝BC＝6，
∴∠EBF＝∠FBC＝∠F，
∴EF＝BE＝6．
故答案为：6．
15．如图， ABCD对角线AC和BD相交于点O，EF过点O，且与AD，BC分别相交于点E，F．若AB＝5，BC＝6，OF＝2，则四边形ABFE的周长是 .
【答案】15．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，EO＝FO，
∴EF＝2OF，
又AB＝5，BC＝6，OF＝2，
∴四边形ABFE的周长是AB+BF+EF+AE＝AB+BF+CF+EF＝AB+BC+EF＝15，
故答案为：15．
16．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ．
【答案】2．
【解析】连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，
∴BD4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EFDN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
三、解答题
17．一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为90°，求这个多边形的边数和内角和度数．
【解析】设每一个外角为x°，则每一个内角为（x+90）°，
根据题意，得x+x+90＝180，
解得x＝45．
∴360÷45＝8，
∴（8﹣2）×180°＝1080°．
答：这个多边形的内角和为1080°，它的边数为8．
18．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想BE与DF的关系并加以证明．
【解析】猜想：BE∥DF且BE＝DF．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB＝AD，CB∥AD，
∴∠BCE＝∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS），
∴BE＝DF，∠BEC＝∠DFA，
∴BE∥DF，即BE∥DF且BE＝DF．
19．如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB＝8，BC＝6，求EC的长．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝6，
∴AB∥DC，AD＝BC＝6，DC＝AB＝8，
∴∠AED＝∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAB，
∴∠AED＝∠EAD，
∴DE＝AD＝6，
∴EC＝DC﹣DE＝8﹣6＝2，
∴EC的长为2．
20．如图， ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及 ABCD的面积．
【解析】∵ ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，
∴BC＝8，则AC6，
∴AO＝CO＝3，
∴ ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．求证：AF∥CE．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F是对角线BD上的点，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵∠1＝∠2，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD．
（1）判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
（2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数．
【解析】（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠DBC，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠DBC，
∴∠1＝∠2；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠1＝∠DBC＝40°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝40°+90°＝130°．
23．平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB＝BG＝BE，AE交BG于点F．
（1）若AB＝3，∠BAD＝60°，求CE的长；
（2）求证：AD＝BF+CG．
【解析】（1）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝60°．
∵BG垂直于CD，
∴∠BGC＝90°，
∴BC．
又∵AB＝BG＝BE＝3，
∴BC2，
∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣BG＝23；
（2）如图，延长GB至点P，使BP＝CG．
在△ABP与△BGC中，
，
∴△ABP≌△BGC（SAS），
∴BC＝AP＝AD，∠1＝∠2．
∵∠4＝∠2+∠3．
又∵AB＝BE，
∴∠5＝∠3，
∴∠1+∠5＝∠2+∠3＝∠4，即∠PAF＝∠4，
∴AP＝PF．
又∵PF＝PB+BF＝CG+BF，
∴AD＝BF+CG．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
25．探索并解决下列问题：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PDC＝135°，∠APD＝ °；
（2）如图2，AB∥CD，∠PBA＝25°，∠PDC＝135°，求∠BPD的度数；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在直线AD上运动（点F不与A、D两点重合），连接BF、CF，∠ABF、∠DCF的角平分线交于点G，若∠ABF＝α，∠DCF＝β，写出∠G和α、β之间的数量关系并画出相应的图形．
【解析】（1）过点P作PN∥AB，如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠APN+∠PAB＝180°，∠DPN+∠PDC＝180°，
∴∠APN+∠PAB+∠DPN+∠PDC＝360°，
即∠APD+∠PAB+∠PDC＝360°，
∵∠PAB＝140°，∠PDC＝135°，
∴∠APD+140°+135°＝360°，
∴∠APD＝85°；
故答案为：85．
（2）过点P作PN∥AB，如图2所示：
同理AB∥PN∥CD，
∴∠BPN＝∠PAB，∠DPN+∠PDC＝180°，
∴∠BPN+∠DPN+∠PDC＝180°+∠PAB，
即∠BPD+∠PDC＝180°+∠PAB，
∵∠PBA＝25°，∠PDC＝135°，
∴∠BPD+135°＝180°+25°，
∴∠BPD＝70°；
（3）∠G和α、β之间的数量关系∠BGC（α+β）或∠G|α﹣β|，理由如下：
∵点F在直线AD上运动（点F不与A、D两点重合），
∴有以下三种情况：
①当点F线段AD上时，过点G作GN∥AB，如图3所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥GN∥CD，
∴∠NGB＝∠GBA，∠NGC＝∠GCD，
∴∠NGB+∠NGC＝∠GBA+∠GCD，
即∠BGC＝∠GBA+∠GCD，
∵∠ABF、∠DCF的角平分线交于点G，
∴GBB∠ABFα，∠GCD∠DCFβ，
∴∠BGC＝1/2（α+β）；
②当点F在DA的延长线上时，过点G作GN∥AB，如图4所示：
同理：AB∥GN∥CD，
∴∠NGB＝∠GBA，∠NGC＝∠GCD，
∴∠NGC﹣∠NGA＝∠GCD﹣∠GBA，
即∠GBA＝∠GCD﹣∠GBA，
∵GBA∠ABFα，∠GCD∠DCFβ，
∴∠GBA（β﹣α）；
③当点F在AD的延长线上时，过点G作GN∥AB，如图5所示：
同理：AB∥GN∥CD，
∴∠NGB＝∠GBA，∠NGC＝∠GCD，
∴∠NGN﹣∠NGC＝∠GBA﹣∠GCD，
即∠GBA＝∠GBA﹣∠GCD，
∵GBB∠ABFα，∠GCD∠DCFβ，
∴∠GBA（α﹣β），
综上所述：∠BGC（α+β）或∠G|α﹣β|．
试卷第2页，共36页
