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第五章 分式与分式方程 单元测试培优卷
一、选择题
1．在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果等于（ ）
A．x B．2x C． D．
4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1
5．化简
①
②
其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ）
A．①是整式乘法；②是通分
B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分
D．①是整式乘法；②是约分
6．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．扩大到原来的3倍
7．已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
8．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
9．俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（ ）
A． B． C．﹣3 D．2
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x﹣1） （x+2），则A+2B＝ ．
13.已知，则的值为 ．
14．若a，b，c，d均不为0，，则的值为 ．
15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ．
16．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：“当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如：．”阅读完这段文字后，小丽认为，当x＞1时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
18．解分式方程：．
19．若m，n均为实数，2m＝3n＝36，则：
（1）求22m÷33n的值；
（2）求的值．
20．彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分
（）．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值；
（2）若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ．
21．按要求完成以下问题：
（1）计算图中阴影所示绿地的面积；
（2）若关于x的方程无解，求a的值．
22．已知关于x的分式方程．
（1）当m＝1时，求方程的解．
（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
23．定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定，如．
（1）求2 （﹣6）的值；
（2）计算；
（3）若﹣3 （2x﹣1）＝2，求x的值．
24．据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
25．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 ．
（2）小明根据以上操作去计算（a+1）（a2+1）时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）＝ （直接写出结果即可）．
（3）运用以上规律计算（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1）．
试卷第2页，共36页中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 分式与分式方程 单元测试培优卷
一、选择题
1．在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A．
【解析】分式分别是，，，共3个．
故选A．
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、x﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
3．计算的结果等于（ ）
A．x B．2x C． D．
【答案】D．
【解析】原式
，
故选D．
4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1
【答案】C．
【解析】设“口”中的式子为M，
原式
，
所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时，
原式1，结果为整式．
故选C．
5．化简
①
②
其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ）
A．①是整式乘法；②是通分
B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分
D．①是整式乘法；②是约分
【答案】C．
【解析】①提公因式；m2﹣8m+16＝（m﹣4）2＝（4﹣m）2这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简，
故选C．
6．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．扩大到原来的3倍
【答案】D．
【解析】x，y的值同时扩大到原来的3倍，
原式，
故选D．
7．已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【答案】C．
【解析】把x＝3代入得：，
解得：a＝7，
故选C．
8．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
【答案】C．
【解析】分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选C．
9．俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】由题意可得，
，
故选A．
10．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（ ）
A． B． C．﹣3 D．2
【答案】D．
【解析】由题意可得，
当a1＝2时，a2＝﹣3，a3，a4，a5＝2，…，
由上可得，每四个为一个循环，依次以2，﹣3，，出现，
∵2025÷4＝506……1，
∴a2025＝a1＝2，
故选D．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
【答案】﹣1．
【解析】原式1．
故答案为：﹣1．
12．对于代数式m，n，定义运算“ ”：m n，例如：4 2，若（x﹣1） （x+2），则A+2B＝ ．
【答案】5．
【解析】（x﹣1） （x+2），
，
∵，
∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5，
解得A＝﹣1，B＝3，
∴A+2B＝﹣1+2×3＝5，
故答案为：5．
13.已知，则的值为 ．
【答案】﹣2．
【解析】∵，
∴ab（a﹣b），
∴原式＝44×（）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．若a，b，c，d均不为0，，则的值为 ．
【答案】﹣1．
【解析】根据题意可知，a，b，c，d中有3个负数，1个正数，
∴．
故答案为：﹣1．
15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ．
【答案】﹣12．
【解析】关于x的不等式组，
整理不等式组，
∵不等式组无解，
∴﹣a≥﹣1，
即a≤1，
解分式方程，
得y，
∵y为正整数，且y≠3，
∴a为1，﹣1，﹣5，﹣7，
∵1+（﹣1）+（﹣5）+（﹣7）＝﹣12，
∴满足条件的整数a的值的和为﹣12．
故答案为： ﹣12．
16．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：“当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如：．”阅读完这段文字后，小丽认为，当x＞1时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ．
【答案】2．
【解析】
＝2．
当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近2．
故答案为：2．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x＝4．
【解析】原式＝（）
，
当x＝4时，原式．
18．解分式方程：．
【解析】去分母得：x﹣1+2x+2＝7，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
19．若m，n均为实数，2m＝3n＝36，则：
（1）求22m÷33n的值；
（2）求的值．
【解析】（1）．
（2）由条件可得，，
∴，，
∴．
即，
∵，
∴，
∴．
20．彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分
（）．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值；
（2）若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ．
【解析】（1）原式[]
，
当a＝0时，
原式；
（2）被墨水遮住的部分是
．
故答案为：．
21．按要求完成以下问题：
（1）计算图中阴影所示绿地的面积；
（2）若关于x的方程无解，求a的值．
【解析】（1）S绿地＝（1.5a+2.5a） （a+2a+a）﹣2a 2.5a
＝4a 4a﹣5a2
＝16a2﹣5a2
＝11a2；
（2），
去分母，得3a+1＝ax+a，
所以x．
由于若关于x的方程无解，
∴x＝﹣1或a＝0．
∴1．
∴a．
∴当a＝0或时，原分式方程无解．
22．已知关于x的分式方程．
（1）当m＝1时，求方程的解．
（2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围．
【解析】（1）当m＝1时，
，
，
，
，
去分母得：x+1＝2（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时x﹣1≠0，
故方程的解为：x＝3；
（2），
，
，
，
去分母得：x+m＝2（x﹣1），
解得：x＝m+2，
由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0，
即：m+2≠1且m+2≥0
即：m≥﹣2且m≠﹣1
23．定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定，如．
（1）求2 （﹣6）的值；
（2）计算；
（3）若﹣3 （2x﹣1）＝2，求x的值．
【解析】（1）；
（2）原式
；
（3）﹣3 （2x﹣1）＝2，
，
，
3+2x﹣1＝6（2x﹣1），
3+2x﹣1＝12x﹣6，
2x﹣12x＝﹣6﹣3+1，
﹣10x＝﹣8，
，
检验：当时，3（2x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解是．
24．据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
（1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
（2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？
【解析】（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是2x元，
根据题意得：15，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×30＝60（元）．
答：购进A种哪吒玩偶的单价是30元，B种哪吒玩偶的单价是60元；
（2）设该玩具店再次购进A种哪吒玩偶m件，则购进B种哪吒玩偶（80﹣m）件，
根据题意得：m≤2（80﹣m），
解得：m．
设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，则w＝30m+60（80﹣m），
即w＝﹣30m+4800，
∵﹣30＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，最小值为﹣30×53+4800＝3210（元）．
答：此次购进至少要花3210元钱．
25．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 ．
（2）小明根据以上操作去计算（a+1）（a2+1）时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）＝ （直接写出结果即可）．
（3）运用以上规律计算（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1）．
【解析】（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
∴可以验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1）
，
，
，
，
，
．
试卷第2页，共36页
