中小学教育资源及组卷应用平台
高三最后50天1天1练-12
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2017·全国III卷·高考真题）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为 2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减
二、多选题
7．（2025·河北·模拟预测）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，， ，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．这180天中日收入不低于8万元的有54天
B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元
C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表）
D．这组数据的第75百分位数为8.5万元
三、填空题
8．（2025·河北·模拟预测）若，，则 ．
四、解答题
9．（2025·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
10．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
《高三最后50天1天1练-11》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C A C D AD
1．C
【分析】解绝对值不等式求出集合，求函数的定义域求得集合.由此求出，从而得到.
【详解】由题意，得，，所以，所以.
故选：C．
2．D
【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可.
【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数，
所以若，则，解得.
故选：D.
3．C
【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值.
【详解】由偶函数的性质可知，，得，
即时，，.
故选：C
4．A
【分析】先由等差数列前n项和公式求出，进而求出公差d，再由等差数列前n项和公式即可求解.
【详解】由题结合等差数列性质有，，
，
设等差数列的公差为，则，，
故.
故选：A.
5．C
【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】记点，，则，
所以，
由，所以，当且仅当时，取最小值.
即点到点的距离的最小值为.
故选：C.
6．D
【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
7．AD
【分析】对于A，由不低于8万元的频率结合总天数即可计算判断；对于B，由各组频率比得各组抽取的天数即可求解判断；对于C，直接由平均数计算公式计算求解即可判断；对于D，由前4组和前5组频率之和确认第75百分位数的位置再计算即可求解判断.
【详解】对于A，由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有天，故A正确；
对于B，日收入低于8万元的各组的频率比为，
所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天各组抽取的天数依次为2天、3天、4天、5天，
则这14天中有天的日收入低于4万元，故B错误；
对于C，这组数据的平均数是
万元，故C错误；
对于D，因为前4组的频率为，
前5组的频率为，
所以这组数据的第75百分位数在第5组为万元，故D正确.
故选：AD
8．/0.96
【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及二倍角的正弦公式求解.
【详解】由，，得，
所以.
故答案为：
9．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的性质判定推理得证.
（2）由（1）的信息得二面角的平面角，再利用几何法求解.
【详解】（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，
即，于是，由平面，平面，
得，又平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，则，由是的中点，
得，于是，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
10．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）数列中，，，则，，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
所以数列的前项和.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高三最后50天1天1练-11
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A． B． C．9 D．16
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．在的展开式中，的系数等于（ ）
A．6 B．12
C．18 D．24
7．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关
二、填空题
8．已知函数在上的最小值是1，则 .
三、解答题
9．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
35岁以上（含35岁） 30 30 60
35岁以下 25 15 40
合计 55 45 100
(1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
(2)以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面.
(1)证明：．
(2)求三棱锥的外接球的表面积．
(3)若，求二面角的正弦值．
《高三最后50天1天1练-11》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B D A A B D B
1．B
【分析】由指数函数的性质以及绝对值不等式求出集合A、B，再结合交集概念即可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以.
故选：B.
2．D
【分析】画出函数的图象，结合图像求解即可.
【详解】画出的图象，
由图象可知a的范围是.
故选：D
3．A
【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【详解】∵，解得，
∴.
故选：A．
4．A
【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，
可得，即，所以，解得（舍去）或，
所以.
故选：A
5．B
【分析】根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率.
【详解】
由双曲线可知渐近线方程为，
因为，所以，
在中，，，可得.
即，
则
又因为点在渐近线上，所以，解得，可得.
故选：B.
6．D
【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数.
【详解】由题设，二项式展开式通项为，，
令，则，即的系数等于24.
故选：D
7．B
【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可.
【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，
由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关.
故选：B
8．/
【分析】分三类，，，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出最小值.
【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意；
若，则的定义域为，
且由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，不符合题意；
若，则的定义域为，
由题意可得，则，
此时由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，符合题意；
综上， .
故答案为：
9．(1)不能
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据列联表计算得出的值即可得出结论；
（2）易知的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值.
【详解】（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
根据列联表中的数据，可以求得.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
（2）由题意可知，的取值可能为.
则.
所以的分布列为
0 1 2
所以的期望为.
10．(1)证明见解析
(2)
(3)．
【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明平面，根据线面垂直的判断定理，结合垂直关系，即可证明；
（2）首先根据几何关系，找到三棱锥外接球的球心，再根据半径求外接球的表面积；
（3）方法一：首先根据几何关系，证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据几何关系，写坐标，再分别求平面和平面的法向量，根据向量公式，即可求解；
方法二：根据二面角平面角的定义，结合几何关系，证明，构造二面角的平面角，即可求解.
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴．
∵平面，平面，且平面平面，
∴，∴．
∵O为的中点，，∴，
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
平面，∴．
（2）由（1）知，的外接圆为圆O，
此时，等边的外接圆圆心即为球心Q，
，由正弦定理可得外接圆半径，
则球Q的表面积为．
（3）连接，中，为的中点，则，
又，所以，
为公共边，得，则，则是等边三角形，
由（1）知，则，即．
（方法一）以O为坐标原点，垂直于的直线为x轴，，所在直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面PCD的法向量为，
则，即，令，则．
，故二面角的正弦值为．
（方法二）易得，又，PC为公共边，则，又，
所以平面，则，易得．
在直角中，作，垂足为E，连接BE，易知，
则为二面角的平面角．
在直角中，由等面积法易求得，则在中，
，故二面角的正弦值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高三最后50天1天1练-10
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．函数在的零点个数为 ．
三、解答题
9．已知锐角中，，
(1)求证：；
(2)设，求AB边上的高.
10．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
《高三最后50天1天1练-10》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D D D C C C
1．C
【分析】由充分必要条件的概念判断即可.
【详解】若，则，反之若，则，
所以是的充要条件.
故选：C
2．D
【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
3．D
【分析】法一：由二倍角公式及同角三角商的关系即可求解；法二：先求得，再由正切的二倍角公式即可求解.
【详解】（解法一）因为，
所以，解得或2.
因为为第一象限角，
所以，，，，
所以（舍去）.
（解法二）因为为第一象限角，，所以.
因为，
所以，解得或.
因为为第一象限角，所以，，，，
所以（舍去）.
故选：D
4．D
【分析】根据平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】根据题意，，若，则，所以.
故选：D
5．C
【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解.
【详解】等比数列的前项和为，
因为，则，
所以，
因为，所以，
所以或舍，
所以.
故选：C.
6．C
【分析】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解.
【详解】因为，
当时，，
当时，①，
当时，②，
①+②=，
所以，
所以，
故选：C.
7．C
【分析】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得.
【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点，
由点，可得直线的斜率分别为：，
作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，
需使，解得.
故选：C.
8．
【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知，或
解得,或故有3个零点．
故答案为：．
方法二：
令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
9．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理计算即得.
（2）利用同角公式求出，再结合（1）的结论及和角的正切求出即可列式计算得解.
【详解】（1）由，得，
即，两式相除得，
所以.
（2）在锐角中，，，则，，
即有，将代入上式并整理得，
而，解得，，
设边上的高为，则，
由，得，所以边上的高等于
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高三最后50天1天1练-13
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-2
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人限报1科，每科至少有一名学生申报，则不同的报名方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上的取值范围为
D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
三、填空题
7．已知向量满足，则 ．
四、解答题
8．如图，已知点是正方形所在平面外一点，平面，，、、分别是、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求直线与平面所成的角.
9．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
高三最后50天1天1练-13参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C B A ABD
1．C
【分析】根据集合的包含关系可得求解.
【详解】由于，所以，
故的最大值为，
故选：C
2．B
【分析】先根据条件求出，再求即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选:B.
3．C
【分析】先确定2人报同一科，然后全排列可得．
【详解】4人报名3科，报名结果是2人报同一科，其余2人各报一科．
不同的报名方式有种．
故选：C．
4．B
【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.
【详解】
如图所示，连接直线，
因为分别为直线和直线的中点，
所以为的中位线，
所以，
则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，
因为,
所以平面,
平面,
所以,
所以为直角三角形，
所以.
故选：B.
5．A
【分析】先利用奇偶性、单调性及判断函数值的正负分布情况，再讨论和时不等式的解集情况，最后取并集即可.
【详解】是奇函数，即，故，
又在上是增函数，故在上也是增函数，
故时，时，时，时.
当时，不等式即，故，即；
当时，不等式即，故，
综上，不等式的解集为：.
故选：A.
【点睛】本题的解题关键在于利用函数的单调性和奇偶性准备判断函数值的正负分布情况，即可解出不等式，突破难点.
6．ABD
【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D.
【详解】由，
所以最小正周期为，A对；
，即的图象关于直线对称，B对；
由上，故，C错；
向右平移个单位长度，，D对.
故选：ABD
7．
【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由，得，有，
则，
故答案为：
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（3）推导出平面，可知与平面所成角为，分析的形状，即可得出结果.
【详解】（1）取的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则且，
因为四边形为正方形，则且，
因为为的中点，则且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面平面，所以，平面.
（2）因为平面，平面，则，
因为四边形为正方形，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则，
因为，为的中点，则，
因为，、平面，因此，平面.
（3）因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
所以，与平面所成角为，
因为，，则为等腰直角三角形，且，
因此，直线与平面所成的角为.
9．(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）即证设，即证. 利用导数求出即得证.
【详解】（1）解：当时，所以
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：当时，即证
因为，所以即证
设，即证.
,
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以.
所以原题得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
