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《正比例和反比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《正比例和反比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“通过具体情境，认识成正比的量；能探索规律或变化趋势。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一量的值。”
在“教学提示”中指出：“成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k(k≠0)的形式，也可以表示为y=kx(k≠0)的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了3个例题，第一课时教学例1“认识成正比例的量”，通过展示汽车行驶时间与路程的对应表格，引导学生发现“时间越长，路程越多”的直观规律，汽车行驶的时间与路程关系的实例，通过表格数据引导学生观察、计算并总结正比例的定义。第二课时教学例2“正比例的图像”，通过表格和图表结合的方式，表格中列举了不同路程数值，从实际数据中抽象出比例关系，并进行数学建模，为学生提供了图像是探究比例关系的有效工具。第三课时教学例3“反比例的意义”，以购买笔记本和生产零件两个生活化场景为载体，通过表格数据引导学生观察、计算并总结反比例的定义。购买笔记本和生产零件的案例贴近学生生活，降低抽象概念的接受难度。通过直观的“单价与数量反向变化”现象，引发学生对反比例关系的兴趣。第4课时是一节综合实践课，通过计算大树的高度，引导学生发现正比例规律，并应用数学方法解决现实问题。
学生认知情况
本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，而且还是今后进一步学习数学、物理、化学等知识的重要基础，因而学好这部分知识是非常重要的。通过学习这部分知识，还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。
学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础；正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，学生接触到较多的素材，这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备，但是缺乏细致、深入的了解。
单元目标拟定
1. 使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2. 使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
3. 使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
4. 使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动的参与学习活动的习惯，提高学好数学的自信心。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
2.体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
（二）教学难点
1．根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2．能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.1
1.生活情境导入，强化数学与现实的联系
通过学生熟悉的现实情境用“购买文具的总价与数量”“汽车行驶路程与时间”等生活实例，引导学生观察变量间的依存关系，建立正比例、反比例的表象认知。引入比例概念，帮助学生在具体问题中理解抽象的数学关系。注重对比辨析，突出概念本质，将正比例与反比例进行对比分析，引导学生通过观察、计算、画图等方式，发现两种比例关系的异同点。通过表格填写、数据计算发现变量间的变化规律，从具体实例中提炼正比例、反比例的定义，用字母公式表示关系，借助坐标系绘制图像，直观理解比例关系。设置“动手做”“试一试”等栏目，鼓励学生通过实验、画图、举例验证等方式自主探究。
2. 图表结合，发展数形结合思想
利用表格整理数据规律，通过坐标系绘制正比例直线和反比例曲线，帮助学生从“数”与“形”两个角度理解比例关系。“根据表格数据判断比例关系”“根据图像写出比例式”等，强化数形转换能力。画出图像后，教材引导学生根据图像判断问题，帮助学生进一步理解图像上的点所表示的实际含义，初步体会图像的作用，为今后进一步学习函数及函数图像打下一定的基础。
3.分层练习设计，让学生逐步提高判断正、反比例的量的能力。
设计判断比例关系、填写表格、简单应用题等，夯实概念，结合工程问题、图形缩放、比例分配等实际情境，提升解决问题的能力，设置逆向思考题，深化逻辑思维。这种形式的练习，对学生来说比较具体，便于观察，容易理解，有利于学生完整体验判断成正比例、反比例的量的思考过程，获得对正、反比例意义的深刻理解。通过辨析题引导学生关注比例关系的本质，学生在练习中能够进一步学会从结构上把握各种量之间的比例关系，提高判断成正反比例的能力。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 正比例和反比例 认识正比例的量 1
正比例的图像 1
认识反比例的量 1
大树有多高 1
重点渗透的数学思想方法 □抽象 符号化 分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 函数 □统计 分析 综合 比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《正比例的意义》 目标：使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。 任务一：正比例的意义。 表中有哪两种量？这两种量的数值是怎样变化的？→ 任务二：判断正比例关系？ 让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系？→ 1.初步理解正比例的意义。 2.学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
6.2《正比例的图像》 目标：能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 任务一：认识正比例的图像。 路程和时间的比值是否一定？ 如何用图像表示这种关系？→ 任务二：画正比例的图像。 根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？→ 1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像。 2.根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
6.3《反比例的意义》 目标：理解反比例的意义，能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。掌握反比例关系的数学表达式 x×y=k（一定）。 任务一：反比例的意义 从“用60元购买笔记本”这句话中，你懂得了什么？→ 任务二：反比例的应用 “工作总量如何保持不变？”“工作效率与工作时间的关系是否符合反比例？” 理解反比例的意义。 2.能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。
6.4《大树有多高》 目标：通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系，发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系，并能运用这一规律解决一些简单的实际问题。 任务一：提出问题 “如何不直接测量就能知道大树的高度？”“影子的长度和物体的高度有什么关系？”→ 任务二：实验操作 在太阳光下，竹竿直立在地面上，同时量出竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？→ 任务三：应用规律解决问题 一根1米长的竹竿，当时直立在地面上的影长是多少？ 发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系。 能运用这一规律解决一些简单的实际问题。
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《正比例的图像》教学设计
课题 正比例的图像 单元 第六单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例2是以“路程”为研究对象，通过表格和图表结合的方式，表格中列举了不同路程数值，并提到这些数据可用图表中的点表示，以横轴为时间，纵轴为路程，通过点的分布直观体现两者之间的关系。通过结构化数据与图表结合的方式，从实际数据中抽象出比例关系，并进行数学建模，为学生提供了图像是探究比例关系的有效工具，同时运用图像知识解决简单实际问题。
学习 目标 1.学习目标描述：能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。 2.学习内容分析：使学生能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。初步体会正比例图像的实际应用，进一步培养观察能力和估计能力。 3.学科核心素养分析：感受正比例图像在实际生活中的应用价值，增强数学学习兴趣。 培养合作交流意识和严谨的科学态度。
重点 了解正比例图像的制作过程以及正比例图像的特点。
难点 利用正比例图像，根据其中一种量的值估计另一种量的值。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、谈话引入，揭示课题 出示： 谈话：三角形的高一定，三角形的面积和底成正比例吗？为什么？ 小组讨论：结合公式推导比值，得出结论。 通过已学知识引出正比例概念，建立新旧知识联系。 培养逻辑推理能力，为后续图像学习做铺垫。
讲授新课 任务一：认识正比例的图像 PPT课件出示例1的表格。 观察表格（时间与路程数据）。 回答问题：路程和时间的比值是否一定？如何用图像表示这种关系？ 谈话：我们上节课认识了成正比例的量，其实例1表中的数据，我们还可以在方格图中绘制成一定的图像来表示。 (1)PPT课件出示教材例2的方格图。 提问：表中的横轴表示什么？纵轴表示什么？每格表示多少千米？ (2)让学生在图中找一找“1小时行80千米”的这个点，并请学生在屏幕上指一指。 引导：表示1小时的竖线与表示80千米的横线相交的点，就表示“1小时行80千米”。 (屏幕闪现A点)我们把它称为A点。 想一想，图中的A点表示什么？ 要求学生照样子描出表示其他各组数据的点。 提问：你能再说出其他各点分别表示什么吗？ （3）问题：根据图像回答：汽车行驶2.5小时的路程是多少？行驶440千米需要多少小时？ 在图像中找到横轴2.5小时对应的纵轴值（约200千米）。 在纵轴440千米处画水平线与图像相交，估计对应时间（5.5小时）。 验证：通过比值计算，确认结果合理性 (4)让学生连接图中各点，说说有什么发现。 根据学生的回答小结：我们发现图中所描的点都在同一条直线上。这条直线就是正比例的图像。从直线上的每个点中，我们既能知道汽车行驶的时间，又能知道行驶的路程。这两个量紧密联系，对应的时间和路程用同一个点，点不同，时间和路程也都发生变化，但是它们的比值却是不变的，所以我们就说它是正比例图像。(板书课题) 计算每组数据的比值，验证正比例关系。 动手操作：用直尺连接各点，发现图像是一条经过原点的直线。 通过数据计算和图像绘制，直观感受正比例图像的特征。 渗透“数形结合”思想，培养观察与分析能力。 强化图像的实际应用能力，体会图像在估算中的便捷性。 通过验证培养严谨的科学态度。
任务二：画正比例的图像 1.（1）根据表格判断，打字的数量和所用的时间成正比例吗？请你计算各组数据的比值，确认正比例关系。 （2）描点连线：在坐标系中描出打字数量和时间对应的点，用直尺连接成射线。 （3）根据图像，估算5分钟打字数量（250个）； 求打750个字所需时间（15分钟）。 小结：我们在根据图像判断时，必须找准对应的点，通过画纵轴或者横轴的垂线的方法找准点，读准数。 2.拓展延伸。 活动：对比分析不同正比例图像 任务：观察汽车行驶图像与打字数量图像， 讨论：两幅图像的共同特征是什么？ 如何从图像中判断两种量是否成正比例？ 根据学生回答小结： （1）正比例关系的图像是一条经过原点的射线。 （2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。 （3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 学生独立计算比值。 学生动手描一描，画一画。 学生独立完成，汇报交流。 学生小组内讨论交流。 通过动手操作掌握描点法，强化图像绘制技能。 培养从图像中提取信息解决实际问题的能力。 通过对比分析，深化对正比例图像共性的理解。能联系生活实际，体会数学的广泛应用性。
课堂练习 基础题： 1. 购买柿子的质量和应付的钱数如下： （1）把下表填写完整。 （2）图像表示的是购买柿子的质量和应付钱数 的关系，横轴表示( )，纵轴表示( )。（3）图像中的圆点表示( )。 （4）9元能买( )千克柿子；买10千克柿子应付( )元。 2.烧煤的天数与烧煤总量如下图： （1）烧煤总量和烧煤的天数成正比例吗？为什么？ （2）3天需要烧煤多少吨？30吨煤可以烧多少天？ 3.一辆汽车行驶的时间和所行驶的路程如下表： （1）将表格补充完整。 （2）根据表格将各时刻对应的行驶的路程在图上表示出来，它们成正比吗？ 分层练习满足不同学习需求，巩固知识并提升思维深度。 通过合作学习培养团队协作和表达能力。
提高题： 放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂参加社会实践活动，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿画出了下面两幅图，说：“我来考考你。图①和图②分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工过了多少千克吗？”
拓展题 5.完成表格，画图判断哪一张表格的变化情况成正比例关系？为什么？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 跟随教师回顾本节课的主要内容，梳理知识结构。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 正比例的图像 描点 连线 正比例的图像是一条直线。 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.下图反映了汽车行驶的路程和时间之间的关系。 (1)汽车行驶的路程和时间成( )关系。 (2)推算一下，这辆汽车6小时行驶了( )千米，行驶420千米要用( )小时。 2.订阅《少年科普世界》的数量与总价的情况如下表。 (1)把上面的表格填写完整。 (2)根据表中数据，在下图中描出数量和总价所对应的点，再把这些点依次连接起来。 (3)订阅《少年科普世界》的总价和数量成正比例吗？为什么？ (4)从图像中可以知道，订阅4份《少年科普世界》需要多少钱？72元可以订阅多少份《少年科普世界》？ 3.一根弹簧挂上物体（质量不超过20千克）后长度会伸长，物体的质量与伸长的长度如下： （1）在图中描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再按顺序连接起来。 （2）物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例吗？为什么？ （3）根据图像判断，如果挂上质量是5千克的物体，弹簧应伸长多少厘米？要使弹簧伸长4厘米，应挂上多少千克的物体？
【综合实践类作业】 调查一种商品的单价，完成下表，并在方格纸上画图表示出来。
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