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《正比例和反比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《正比例和反比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“通过具体情境，认识成正比的量；能探索规律或变化趋势。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一量的值。”
在“教学提示”中指出：“成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k(k≠0)的形式，也可以表示为y=kx(k≠0)的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了3个例题，第一课时教学例1“认识成正比例的量”，通过展示汽车行驶时间与路程的对应表格，引导学生发现“时间越长，路程越多”的直观规律，汽车行驶的时间与路程关系的实例，通过表格数据引导学生观察、计算并总结正比例的定义。第二课时教学例2“正比例的图像”，通过表格和图表结合的方式，表格中列举了不同路程数值，从实际数据中抽象出比例关系，并进行数学建模，为学生提供了图像是探究比例关系的有效工具。第三课时教学例3“反比例的意义”，以购买笔记本和生产零件两个生活化场景为载体，通过表格数据引导学生观察、计算并总结反比例的定义。购买笔记本和生产零件的案例贴近学生生活，降低抽象概念的接受难度。通过直观的“单价与数量反向变化”现象，引发学生对反比例关系的兴趣。第4课时是一节综合实践课，通过计算大树的高度，引导学生发现正比例规律，并应用数学方法解决现实问题。
学生认知情况
本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，而且还是今后进一步学习数学、物理、化学等知识的重要基础，因而学好这部分知识是非常重要的。通过学习这部分知识，还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。
学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础；正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，学生接触到较多的素材，这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备，但是缺乏细致、深入的了解。
单元目标拟定
1. 使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2. 使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
3. 使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
4. 使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动的参与学习活动的习惯，提高学好数学的自信心。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
2.体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
（二）教学难点
1．根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2．能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.1
1.生活情境导入，强化数学与现实的联系
通过学生熟悉的现实情境用“购买文具的总价与数量”“汽车行驶路程与时间”等生活实例，引导学生观察变量间的依存关系，建立正比例、反比例的表象认知。引入比例概念，帮助学生在具体问题中理解抽象的数学关系。注重对比辨析，突出概念本质，将正比例与反比例进行对比分析，引导学生通过观察、计算、画图等方式，发现两种比例关系的异同点。通过表格填写、数据计算发现变量间的变化规律，从具体实例中提炼正比例、反比例的定义，用字母公式表示关系，借助坐标系绘制图像，直观理解比例关系。设置“动手做”“试一试”等栏目，鼓励学生通过实验、画图、举例验证等方式自主探究。
2. 图表结合，发展数形结合思想
利用表格整理数据规律，通过坐标系绘制正比例直线和反比例曲线，帮助学生从“数”与“形”两个角度理解比例关系。“根据表格数据判断比例关系”“根据图像写出比例式”等，强化数形转换能力。画出图像后，教材引导学生根据图像判断问题，帮助学生进一步理解图像上的点所表示的实际含义，初步体会图像的作用，为今后进一步学习函数及函数图像打下一定的基础。
3.分层练习设计，让学生逐步提高判断正、反比例的量的能力。
设计判断比例关系、填写表格、简单应用题等，夯实概念，结合工程问题、图形缩放、比例分配等实际情境，提升解决问题的能力，设置逆向思考题，深化逻辑思维。这种形式的练习，对学生来说比较具体，便于观察，容易理解，有利于学生完整体验判断成正比例、反比例的量的思考过程，获得对正、反比例意义的深刻理解。通过辨析题引导学生关注比例关系的本质，学生在练习中能够进一步学会从结构上把握各种量之间的比例关系，提高判断成正反比例的能力。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 正比例和反比例 认识正比例的量 1
正比例的图像 1
认识反比例的量 1
大树有多高 1
重点渗透的数学思想方法 □抽象 符号化 分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 函数 □统计 分析 综合 比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《正比例的意义》 目标：使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。 任务一：正比例的意义。 表中有哪两种量？这两种量的数值是怎样变化的？→ 任务二：判断正比例关系？ 让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系？→ 1.初步理解正比例的意义。 2.学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
6.2《正比例的图像》 目标：能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 任务一：认识正比例的图像。 路程和时间的比值是否一定？ 如何用图像表示这种关系？→ 任务二：画正比例的图像。 根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？→ 1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像。 2.根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
6.3《反比例的意义》 目标：理解反比例的意义，能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。掌握反比例关系的数学表达式 x×y=k（一定）。 任务一：反比例的意义 从“用60元购买笔记本”这句话中，你懂得了什么？→ 任务二：反比例的应用 “工作总量如何保持不变？”“工作效率与工作时间的关系是否符合反比例？” 理解反比例的意义。 2.能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。
6.4《大树有多高》 目标：通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系，发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系，并能运用这一规律解决一些简单的实际问题。 任务一：提出问题 “如何不直接测量就能知道大树的高度？”“影子的长度和物体的高度有什么关系？”→ 任务二：实验操作 在太阳光下，竹竿直立在地面上，同时量出竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？→ 任务三：应用规律解决问题 一根1米长的竹竿，当时直立在地面上的影长是多少？ 发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系。 能运用这一规律解决一些简单的实际问题。
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《反比例的意义》教学设计
课题 反比例的意义 单元 第六单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例3以购买笔记本和生产零件两个生活化场景为载体，通过表格数据引导学生观察、计算并总结反比例的定义。购买笔记本和生产零件的案例贴近学生生活，降低抽象概念的接受难度。通过直观的“单价与数量反向变化”现象，引发学生对反比例关系的兴趣。通过生活实例和结构化探究活动，有效帮助学生构建反比例概念，但在引导学生自主发现规律和强化概念区分上仍有优化空间。教学中应注重“观察→计算→抽象→应用”的思维路径，结合多样化实例和练习，帮助学生深入理解反比例的本质，并能在复杂情境中灵活应用。
学习 目标 1.学习目标描述：理解反比例的意义，能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。掌握反比例关系的数学表达式 x×y=k（一定）。 2.学习内容分析：通过实例分析、数据对比，体会反比例关系中“一个量变化，另一个量随之反向变化”的规律。 3.学科核心素养分析：感受数学与生活的密切联系，增强数学应用意识。培养合作探究精神和严谨的科学态度。
重点 反比例的意义及判断方法。
难点 从实际问题中抽象出反比例关系，理解“积一定”的本质。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、复习引入，揭示课题 展示弹簧秤吊物品的图片。 提问：“当吊起5千克物品时，弹簧伸长10厘米。如果吊起10千克物品，弹簧会伸长多少厘米？” 观察弹簧长度与质量的关系图，回答问题。 思考：“质量增加时，弹簧伸长的长度如何变化？” 引导学生回顾这些基本关系式，为引入反比例关系做铺垫。 通过生活实例引发兴趣，初步感知“一个量变化，另一个量反向变化”的规律。 为反比例概念的引入做铺垫。
讲授新课 任务一：反比例的意义 活动1：分析购买笔记本数据 1.认识反比例的意义。 (1)初步感知反比例。PPT课件出示教材例3。 提问：从“用60元购买笔记本”这句话中，你懂得了什么？ 引导学生认识：60元是这批笔记本的总价，笔记本的数量和单价发生变化，但是笔记本的总价是固定的，始终是60元。 (2)探究反比例关系。 根据表中的数据：以小组为单位依次讨论下面三个问题： ①当单价变化时，数量是否也随着变化？ ②这种变化有没有规律？是什么规律？ ③这种规律与成正比例的量的规律有什么不同？你能用一个式子来表示上面三种数量之间的关系吗？ 根据学生的回答，教师板书关系式：数量×单价 = 总价(一定)。 (3)揭示反比例的意义。 引导总结：购买笔记本的数量和单价是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和对应数量的积总是一定，也就是总价一定时，单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量。(板书：单价和数量成反比例) 同桌相互说一说。 组织全班交流。 小组讨论，展示交流，并用表达式说明。 通过数据计算和对比，直观理解反比例的本质。 培养从具体实例中抽象数学模型的能力。
任务二：反比例的应用 1.呈现表格数据（工作效率与工作时间）。 活动：分析生产零件数据 (1)要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。 (2)根据表中的数据，依次讨论表格下面的问题。 (3)让学生根据板书完整地说一说工作效率和工作时间成什么关系。 总结规律：明确“工作总量固定时，效率与时间成反比例”。 2.用字母表示反比例的意义。 如果用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的积，那么反比例关系可以用怎样的式子来表示？ 根据学生的回答，板书：x×y =k(一定)揭示板书课题。 拓展延伸。 生活中还有哪些成反比例的量？你能举例说一说吗？ 提问：“正比例和反比例有何异同？” 展示对比表格，引导学生归纳。 教师：想一想，怎样的两种量能成反比例？我们是根据什么来判断的？ 根据学生回答小结：判断两种量成反比例的方法： (1)看变化的两种量是相关的量。 (2)这两种量能写成乘积的形式。 (3)乘积一定。满足上述三个要求即成反比例关系。 巧学妙记 反比例，犟脾气，相关两量不默契。 你扩我缩来变化，乘积一定永不异。 填写表格，计算总价与数量的比值。 讨论总价与数量成正比例的原因，总结判断正比例关系的关键。 填写表格：结合实例总结异同点。 巧记口诀 通过不同实例巩固反比例判断方法。 强化“积一定”的核心条件。 通过生活中的实例，拓宽学生的思维，增强数学与生活的联系，培养学生的应用意识。
课堂练习 基础题： 1.下面表格中的两个量是否成反比例？ (1) 输液时一小瓶葡萄糖均匀滴落时， 每份滴与所需时间的关系如下: (2)小明的身高与体重的关系如下： (3)体积一定，圆柱体的底面积和高的关系如下： 2.下面两个量是否成比例？ 1.瓷砖面积一定，砖的块数和铺地面积。 2.铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。 3.铺地面积一定，每块砖的边长和所需块数。 3.填空。 (1)如果xy=8×7，那么x和y成( )比例。 (2)如果5a=6b(a，b均不为0)，那么a和b成( )比例。 (3)在每块瓷砖面积，瓷砖的块数和总面积三个量中： 当每块瓷砖面积一定时，( )和( )成( )比例。 通过基础题和提高题，帮助学生巩固所学知识，并提高解决实际问题的能力。
提高题： 4.观察下表。 (1)若a和b成正比例，则△=( )。 (2)若a和b成反比例，则△=( )。
拓展题 5. 一艘轮船往返甲、乙两个码头，去时顺水，每小时行20千米；返回时逆水，每小时行15千米，去时比返回少用了2小时。甲、乙两个码头相距多少千米？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 跟随教师回顾本节课的主要内容，梳理知识结构。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 反比例的意义 单价×数量= 总价(一定) 单价和数量成反比例 x×y =k(一定) x和y成反比例 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.判断正误。 (1)买书的总钱数一定，单价与数量成反比例。( ) (2)小明从家到学校，骑自行车的速度与时间成反比例。( ) (3)正方形的边长与面积成反比例。( ) (4)a×b=180中的a与b成反比例。 ( ) 2.平行四边形的底和高如下表: (1)表中的( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)表中两个量相对应的乘积表示( )，这个乘积是( )。 (3)因为平行四边形的高和底的( )一定，所以平行四边形的高和底成( )比例。 3.已知 ×5= ×b(a，b≠0)，a和b成不成比例？ 如果成，成什么比例？ (1) ×5=×b可整理为 = ，根据比例的基本性质可知( )×( )=( )×( )=( )。 (2)a和b的( )一定，所以a和b成( )。 选做题 4.有甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，当甲转2圈时，乙转3圈，丙转4圈，这三个齿轮的齿数比是多少？
【综合实践类作业】 请找一找在日常生活中找找成反比例的量。
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