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《正比例和反比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《正比例和反比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“通过具体情境，认识成正比的量；能探索规律或变化趋势。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一量的值。”
在“教学提示”中指出：“成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k(k≠0)的形式，也可以表示为y=kx(k≠0)的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了3个例题，第一课时教学例1“认识成正比例的量”，通过展示汽车行驶时间与路程的对应表格，引导学生发现“时间越长，路程越多”的直观规律，汽车行驶的时间与路程关系的实例，通过表格数据引导学生观察、计算并总结正比例的定义。第二课时教学例2“正比例的图像”，通过表格和图表结合的方式，表格中列举了不同路程数值，从实际数据中抽象出比例关系，并进行数学建模，为学生提供了图像是探究比例关系的有效工具。第三课时教学例3“反比例的意义”，以购买笔记本和生产零件两个生活化场景为载体，通过表格数据引导学生观察、计算并总结反比例的定义。购买笔记本和生产零件的案例贴近学生生活，降低抽象概念的接受难度。通过直观的“单价与数量反向变化”现象，引发学生对反比例关系的兴趣。第4课时是一节综合实践课，通过计算大树的高度，引导学生发现正比例规律，并应用数学方法解决现实问题。
学生认知情况
本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，而且还是今后进一步学习数学、物理、化学等知识的重要基础，因而学好这部分知识是非常重要的。通过学习这部分知识，还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。
学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础；正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，学生接触到较多的素材，这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备，但是缺乏细致、深入的了解。
单元目标拟定
1. 使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2. 使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
3. 使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
4. 使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动的参与学习活动的习惯，提高学好数学的自信心。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
2.体会数量之间的相互依存的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
（二）教学难点
1．根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2．能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.1
1.生活情境导入，强化数学与现实的联系
通过学生熟悉的现实情境用“购买文具的总价与数量”“汽车行驶路程与时间”等生活实例，引导学生观察变量间的依存关系，建立正比例、反比例的表象认知。引入比例概念，帮助学生在具体问题中理解抽象的数学关系。注重对比辨析，突出概念本质，将正比例与反比例进行对比分析，引导学生通过观察、计算、画图等方式，发现两种比例关系的异同点。通过表格填写、数据计算发现变量间的变化规律，从具体实例中提炼正比例、反比例的定义，用字母公式表示关系，借助坐标系绘制图像，直观理解比例关系。设置“动手做”“试一试”等栏目，鼓励学生通过实验、画图、举例验证等方式自主探究。
2. 图表结合，发展数形结合思想
利用表格整理数据规律，通过坐标系绘制正比例直线和反比例曲线，帮助学生从“数”与“形”两个角度理解比例关系。“根据表格数据判断比例关系”“根据图像写出比例式”等，强化数形转换能力。画出图像后，教材引导学生根据图像判断问题，帮助学生进一步理解图像上的点所表示的实际含义，初步体会图像的作用，为今后进一步学习函数及函数图像打下一定的基础。
3.分层练习设计，让学生逐步提高判断正、反比例的量的能力。
设计判断比例关系、填写表格、简单应用题等，夯实概念，结合工程问题、图形缩放、比例分配等实际情境，提升解决问题的能力，设置逆向思考题，深化逻辑思维。这种形式的练习，对学生来说比较具体，便于观察，容易理解，有利于学生完整体验判断成正比例、反比例的量的思考过程，获得对正、反比例意义的深刻理解。通过辨析题引导学生关注比例关系的本质，学生在练习中能够进一步学会从结构上把握各种量之间的比例关系，提高判断成正反比例的能力。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 正比例和反比例 认识正比例的量 1
正比例的图像 1
认识反比例的量 1
大树有多高 1
重点渗透的数学思想方法 □抽象 符号化 分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 函数 □统计 分析 综合 比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
6.1《正比例的意义》 目标：使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。 任务一：正比例的意义。 表中有哪两种量？这两种量的数值是怎样变化的？→ 任务二：判断正比例关系？ 让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系？→ 1.初步理解正比例的意义。 2.学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
6.2《正比例的图像》 目标：能用“描点法”画出表示正比例关系的图像，帮助学生初步认识正比例的图像，进一步认识成正比例的量的变化规律。能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 任务一：认识正比例的图像。 路程和时间的比值是否一定？ 如何用图像表示这种关系？→ 任务二：画正比例的图像。 根据图像判断，这辆汽车2.5小时行驶多少千米？→ 1.能用“描点法”画出表示正比例关系的图像。 2.根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
6.3《反比例的意义》 目标：理解反比例的意义，能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。掌握反比例关系的数学表达式 x×y=k（一定）。 任务一：反比例的意义 从“用60元购买笔记本”这句话中，你懂得了什么？→ 任务二：反比例的应用 “工作总量如何保持不变？”“工作效率与工作时间的关系是否符合反比例？” 理解反比例的意义。 2.能根据反比例的定义判断两种相关联的量是否成反比例。
6.4《大树有多高》 目标：通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系，发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系，并能运用这一规律解决一些简单的实际问题。 任务一：提出问题 “如何不直接测量就能知道大树的高度？”“影子的长度和物体的高度有什么关系？”→ 任务二：实验操作 在太阳光下，竹竿直立在地面上，同时量出竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？→ 任务三：应用规律解决问题 一根1米长的竹竿，当时直立在地面上的影长是多少？ 发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系。 能运用这一规律解决一些简单的实际问题。
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《大树有多高》教学设计
课题 大树有多高 单元 第六单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 本课以测量大树高度为实际问题，通过探究物体高度与影长的关系，引导学生发现正比例规律，并应用数学方法解决现实问题。通过“如何测量大树高度”引发学生思考，鼓励交流估算方法（如对比建筑物高度）。指导学生在阳光下测量竹竿高度与影长，记录数据并分析规律，发现“同一时间、同一地点，物体高度与影长比值一定”。利用实验结论，通过比例关系计算大树高度，将数学知识应用于实际问题。
学习 目标 1.学习目标描述：通过测量各种目标物影子长度的实践活动，使学生主动探索掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系。 2.学习内容分析：发现在同一时刻、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系，并能运用这一规律解决一些简单的实际问题。 3.学科核心素养分析：体会数学在日常生活中的广泛应用，进一步积累探索并发现数学规律的经验，发展数学思维，提高分析和解决问题的能力。
重点 探索并掌握影子长度与目标物实际高度之间的比例关系。
难点 选择科学的方法进行测量、比较。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 谈话引入，揭示课题 1.师：同学们，想一想，生活中我们身边的物体，是越高的物体，影子就越长吗？能不能用我们学过的数学知识和方法解决这一问题？(揭示课题) 自由发言，提出猜想（如“物体越高，影子越长”）。 通过生活问题引发兴趣，激发探究欲望。 初步渗透“比例关系”的概念。
讲授新课 任务一：提出问题 展示大树和竹竿的图片。 提问：“如何不直接测量就能知道大树的高度？” 引导学生思考：“影子的长度和物体的高度有什么关系？” 讨论可能的测量方法（如利用影子比例）。 设疑：在阳光下，不同高度的物体，影长是不一样的。物体高度和影长之间有什么关系呢？ 同桌相互说一说。 组织全班交流。 培养从具体实例中抽象数学模型的能力。
任务二：实验操作 量一量，比一比。组织学生动手测量： 1.在太阳光下，竹竿直立在地面上，同时量出竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？ 2.再把几根长度不同的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。 (1)按要求填表。 (2)计算竹竿与影长的比值。 (3)讨论：根据每次求得的比值，你有什么发现？ (4)引导总结：在同一地点同时测量不同的竹竿高度与影长的比值是相等的。 通过动手实验直观感知比例关系，培养数据分析和归纳能力。 强化“控制变量法”的科学思维。
任务三：应用规律解决问题 现在我们一起来做一做，看看你的方法行不行。 在阳光下，同时量出一根直立竹竿和一棵大树的影长，再量出竹竿的长度，并把结果填在下表里。 1.根据上面测量和计算的结果。 推想：一根1米长的竹竿，当时直立在地面上的影长是多少？ (1)学生小组内交流。 (2)集体交流是让学生说说自己的想法。 提问：“如何用比例关系计算大树高度？” 2.同一棵大树，在不同时间测量它的影长，结果相同吗？通过上面的活动，你还能想到什么？ 让学生在小组里交流。并指名学生说说自己的想法。 组织学生分组去室外测量，小组讨论各自的想法，由学生各自算一算大树的高度。 将实验规律转化为数学模型，提升问题解决能力。 强化方程思维和比例计算技能。
课堂练习 基础题： 1.在大树旁垂直竖一根1米长的竹竿，同时量得竹竿的影长为0.5米，大树的影长为2.8米。求大树的高度是多少米。 2.佳航在操场上插了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量这几根竹竿的长和相应的影长情况如下表： 这时，佳航身边的王强测量出了旗杆的影长是3.5米，请你推算出旗杆的实际高度是多少米 通过基础题和提高题，帮助学生巩固所学知识，并提高解决实际问题的能力。
提高题： 3. 某天上午8点，一位老人站在一座金字塔前，苦苦冥想，如何才能测出金字塔的高呢？看了看手中的拐杖，老人有了办法。老人的拐杖0.8米，影长2.4米，此时金字塔的影长120米，你知道这座金字塔的高度吗？
拓展题 4.琪琪和茜茜在操场上插了几根不同长度的竹竿，在同一时间点测得竹竿长和相应的影长如下表： (1)她们测量的数据有一组是不正确的，请你把这组数据圈起来。 (2)琪琪和茜茜的身高分别是1.5米和1.55米，那么在这一时间点她们在操场上的影长分别是多长？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 跟随教师回顾本节课的主要内容，梳理知识结构。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 大树有多高 在同一时间、同一地点，物体的高度 和影长成正比例，即 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.希望小学的旗杆高10米，它的影子长8米，在同一时间点、同一地点，测得校园一棵杨树的影长是6米，这棵杨树的高是多少米？ 2.中午，太阳当头照。小明身高1.5m，他的影子长0.5m。一棵松树的影子长10m，它的高度是多少米呢？ 3.小兰的身高是1.5 m，她的影长是2.4 m。 如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长4 m，这棵树有多高？ 选做题 4.小明身高1.6米，站在阳光下，他的影子长度是2米。同一时间，一座建筑物的影子长度是25米。已知建筑物的顶部有一根旗杆，旗杆的影子长度是5米。请问这座建筑物的高度和旗杆的高度分别是多少？
【综合实践类作业】 利用这节课所学的知识，计算校园内旗杆的高度。
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