2025届开封新世纪学校高三数学月考试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1. A.
2. B
3. D．
4. A
5. B.
6. C.
7. B.
8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ACD
10. ACD.
11. BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 7
13. .
14..
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）因为，由正弦定理有：，
所以，
，
，
，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
因为，
所以有：，，或，（舍），
所以得证.
（2）因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
所以
，
因为，所以，
令，则，，
令，，
根据函数解析式，在上单调递减，
因为，，所以，
所以.
16. （1）证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
又因为三棱柱的所有棱长都是2，
所以四边形为菱形，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在等边中，因为为的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：连接，因为三棱柱的所有棱长都为2，且，
可得为等边三角形，且为的中点，所以，
由（1）知：平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
所以两两垂直，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成的角的正弦值为.
17. （1），.
，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有378人.
（2）由题知的可能取值为0，1，2，3.
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为，，，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以.
18. （1）当时，，设直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的斜率，
又，故的方程为，
又过原点，所以，所以，
所以，故的方程为，即.
（2）①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点.
因，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，
所以当时，直线与的图象有两个不同交点，
所以实数的取值范围为.
②由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证.
令，则只需证当时，恒成立，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
19. （1）在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
（2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量分别为，则，
即，取，则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.2025届开封新世纪学校高三数学月考试卷
120分钟 150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A. B.
C. D.
3. 平面与平面平行的充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. 内有两条相交直线都与平行
4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 36 B. 72 C. 144 D. 288
6. 已知函数图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ）
A. 6 B. C. 12 D.
7. 已知点是圆上一点，点是圆上一点，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ）
A. 1 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 与的图象关于直线对称
B. 与的图象关于点对称
C. 当时，
D. 当时，与的图象恰有4个交点
10. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ）
A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为
C. 的最小值是 D. （点O为坐标原点）的最小值为7
11. 已知为抛物线：的焦点，为上一点，点到的距离的最小值为4，过的直线交于，两点，的过，的切线交于点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若，则线段的中点到轴的距离为5
C. 若坐标为，则的方程为
D. 的面积的最小值为64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列的前n项和为，，则_______.
13 已知，则____________.
14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．
16. 如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
17. 高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展.
（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计.
季度 1 2 3 4 5
血脂明显降低（或治愈）人数/人 100 150 210 270 320
已知血脂明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有多少人？
（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和.设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
18. 已知函数.
（1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
（2）若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
