襄阳四中2024级高一年级3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.
2. C.
3. D
4.D.
5. A.
6. D.
7. C
8. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. ABD
10. ACD.
11. ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. .
13. .
14. .
四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. （1）由题意，
因为，，所以
所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以最小值是；
（2）因为，，
所以，
设，共线，即设，
因为向量与不共线，
所以，解得，
若与的夹角为钝角，
则，且，
解得的取值范围是.
16. （1）因，
，
，
则的最小正周期是，
令，，解得，，
故的单调递增区间是，.
（2）因为将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的3倍，所以经过变换可得，
由题意得，
即，所以，，
解得，，
令，则，时，，
所以当时，不等式的解集为.
17. （1）
，
设，，，
方程可化为：，解得：或，或.
（2）当时，，；
由（1）知：可化为，
当时，，在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，，解得：，
即实数的取值范围为.
18. （1）设 与 相交于点 ，则 ，
可得 ， ，
因为 等于 到 的距离，
所以，
即 的面积为 .
（2）过点 作 于点 ，则 ，
且三角形区域 面积为
，
设 ，由 ，得
所以 ，
结合 ，可得
当 时， 取得最大值，
即三角形区域 面积的最大值为 .
19. （1）
，不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.襄阳四中2024级高一年级3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. （ ）
A. B. C. D.
2. “点在第二象限”是“角为第三象限角”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知平面向量，，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，，则（ ）
A. 3 B. C. D. 2
5. 已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 10
6. 已知函数满足，且当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ）
A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
8. 已知函数，若方程在的解为，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分
9. 下列命题为假命题的有（ ）
A. 若“”，则“”
B. 若“”，则“，”
C. 函数单调递减区间为
D. 函数的最小值为5
10. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A B.
C. D. 向量与向量垂直
11. 下列结论正确的有：（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12 已知向量，，若，则__________．
13. 若，则______.
14. 已知函数的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知两个单位向量与的夹角为，设，．
（1）求最小值；
（2）若与的夹角为钝角，求的取值范围．
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，当时，求不等式的解集.
17 已知函数，．
（1）若，求方程的解；
（2），不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
18. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.
（1）当时，求的面积；
（2）求三角形区域面积的最大值.
19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
