山东省济南天桥区泺口实验学校2024-2025年第二学期八年级数学期中考试试题（含答案）

济南泺口实验学校 2024 - 2025 学年第二学期期中考试八年级数学试题（2025.04）
本试题分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，请将学校、姓名、准考证号、座号写在答题卡规定的位置。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一．单选题。（共10小题，每小题 4 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。请将正确答案填入第 Ⅱ 卷相应的空格里。）
1.下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.若aA. a 3>b 3 B. 2a>2b C. 2 a>2 b D. >
3.若分式的值为0，则a的值为（ ）
4.A. 3 B. 0 C. 2 D. 2或 3
4.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A. x(x+1)=x2+x B. (a+b)(a b)=a2 b2 C. x2 2x+1=(x 1)2 D. x2+6x+8=x(x+6)+8
5.已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A( 1,3)平移后的对应点为C(2,2)，则点B( 4,1)的对应点D的坐标为（ ）
A. ( 2,2) B. (1,5) C. ( 7,1) D. ( 1,0)
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A. AC=BD B. OA=OC C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
7.如图，一次函数y1=ax+b（a，b为常数）与正比例函数y2=kx（k为常数）的图象交于点P( 4, 2)，则关于x的不等式ax+b>kx的解集是（ ）
A. x> 2 B. x< 2 C. x> 4 D. x< 4
8.如图，等边△ABC中，D为BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转角等于（ ）
A. 18 B. 32 C. 60 D. 72
9.某中学八年级举行15km春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早0.7h到达目的地，求两个小组的步行速度。若设第二小组的步行速度为xkm/h，则可列出方程为（ ）
A. ﹣=0.7 B. ﹣=0.7 C. +=0.7 D. =﹣0.7
10.如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD=1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①∠BAD=∠CAE；②△ABD △BCF；③四边形BDEF是平行四边形；④S△ABC= ；⑤S△ABD=2S△BCF，其中正确的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上）
11.分解因式：mn+m2= 。
12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 。
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=110 ，CE平分∠BCD，则∠DEC的度数是 。
14.如图，把△ABC沿着射线AC方向平移得到△DEF，BE=DC=2，则AF= 。
15.如图，已知∠XOY=60 ，点A在边OX上，OA=2。过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P
作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E。设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（8 分）因式分解：（1）x3 25x （2）3a2 6ab+3b2
17.（6 分）解不等式组：并写出所有的正整数解。
18.（10 分）解方程：（1）= （2）+=1
19.（6 分）先化简，再求值（+）×，其中x= 3。
20.（6 分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E，F两点在对角线AC上，OE=OF。求证：DE=BF。
21.（10 分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF。求证：
（1）△ABE △CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形。
22.（10 分）如图，在△OAB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)。
（1）将△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1，画出△O1A1B1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出将△OAB绕点O逆时针旋转90 后的△OA2B2；
（3）求△OA2B2的面积。
23.（10 分）“植” 此青绿，共赴青山。2025 年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同。
（1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格。
（2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？
24.（12 分）在 “探究性学习” 小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2 xy+4x 4y =(x2 xy)+(4x 4y)（分成两组） =x(x y)+4(x y)（直接提公因式） =(x y)(x+4) 乙：a2 b2+c2+2bc =a2 (b2+c2 2bc)（分成两组） =a2 (b c)2（直接运用公式） =(a+b c)(a b+c)
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2 9 2ab。
（2）若a b= 5，b c=3，求式子ab bc+ac a2的值。
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2 b2 ac+bc=0，则△ABC为 三角形，并说明理由。
25.（12分）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ，以C为底角顶点作等腰Rt△CED，使∠CED=90 ，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF。
（1）如图 1，当点E在AC边上（不与点A、C重合），且点D在△ABC外部时，判断△AEF中，AE与EF的数量关系为______，位置关系为______；
（2）如图 2，将图 1 中△CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE。求证：AF=AE；
（3）如图 3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当AD=AB，且△CED在△ABC的下方时，若AB=，CE=，求线段AE的长。
答案
一．单选题。（共10小题，每小题 4 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。请将正确答案填入第 Ⅱ 卷相应的空格里。）
1.下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
A. B. C. D.
2.若aA. a 3>b 3 B. 2a>2b C. 2 a>2 b D. >
3.若分式的值为0，则a的值为（ C ）
4.A. 3 B. 0 C. 2 D. 2或 3
4.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ C ）
A. x(x+1)=x2+x B. (a+b)(a b)=a2 b2 C. x2 2x+1=(x 1)2 D. x2+6x+8=x(x+6)+8
5.已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A( 1,3)平移后的对应点为C(2,2)，则点B( 4,1)的对应点D的坐标为（ D ）
A. ( 2,2) B. (1,5) C. ( 7,1) D. ( 1,0)
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ B ）
A. AC=BD B. OA=OC C. AC⊥BD D. ∠ADC=∠BCD
7.如图，一次函数y1=ax+b（a，b为常数）与正比例函数y2=kx（k为常数）的图象交于点P( 4, 2)，则关于x的不等式ax+b>kx的解集是（ D ）
A. x> 2 B. x< 2 C. x> 4 D. x< 4
8.如图，等边△ABC中，D为BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转角等于（ C ）
A. 18 B. 32 C. 60 D. 72
9.某中学八年级举行15km春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早0.7h到达目的地，求两个小组的步行速度。若设第二小组的步行速度为xkm/h，则可列出方程为（ A ）
A. ﹣=0.7 B. ﹣=0.7 C. +=0.7 D. =﹣0.7
10.如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD=1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①∠BAD=∠CAE；②△ABD △BCF；③四边形BDEF是平行四边形；④S△ABC= ；⑤S△ABD=2S△BCF，其中正确的有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上）
11.分解因式：mn+m2= m（n+m） 。
12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 。
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=110 ，CE平分∠BCD，则∠DEC的度数是 55° 。
14.如图，把△ABC沿着射线AC方向平移得到△DEF，BE=DC=2，则AF= 6 。
15.如图，已知∠XOY=60 ，点A在边OX上，OA=2。过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P
作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E。设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（8 分）因式分解：（1）x3 25x （2）3a2 6ab+3b2
=x（x2﹣25） =3（a2 2ab+b2）
=x（x+5）（x﹣5） =3（a﹣b）2
17.（6 分）解不等式组：并写出所有的正整数解。
解不等式①得x＞﹣2
解不等式②得x≤3
不等式组解集为﹣2＜x≤3
正整数解为 1,2,3。
18.（10 分）解方程：（1）= （2）+=1
解（1）4x=2x﹣2
x=﹣1
经检验x=﹣1是原方程的根
（2）2﹣x﹣1=x﹣3
x=2
经检验x=2是原方程的根
19.（6 分）先化简，再求值（+）×，其中x= 3。
解原式=×
=3x+2
将x=﹣3代入得3×（﹣3）+2=﹣7
20.（6 分）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E，F两点在对角线AC上，OE=OF。求证：DE=BF。
证明∵O是平行四边形ABCD对角线交点
∴OB=OD
∵OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF
21.（10 分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF。求证：
（1）△ABE △CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形。
(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB//CD ,AB =CD
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE 与△CDF中
∴△ABE≌△CDF ( SAS )
(2）由（1）知，△ABE≌△CDF
∴AE = CF ,∠AEB=∠CFD
∴∠AEF =180°-∠AEB=180°-∠CFD =∠CFE
∴AE // CF
∴四边形 AECF 是平行四边形
22.（10 分）如图，在△OAB中，点B的坐标是(0,4)，点A的坐标是(3,1)。
（1）将△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1，画出△O1A1B1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出将△OAB绕点O逆时针旋转90 后的△OA2B2；
（3）求△OA2B2的面积。
（2）如图
（3）4×3×=6
23.（10 分）“植” 此青绿，共赴青山。2025 年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同。
（1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格。
（2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？
(1）设每棵银杏树苗的价格为 x 元，则每棵白杨树苗的价格为（ x -10）元，
根据题意得：=
解得： x =40
经检验，x =40是原方程的解，且符合题意，
∴x -10=40-10=30
答：每棵银杏树苗的价格为40元，每棵白杨树苗的价格为30元；
设购买 m 棵银杏树苗，则购买（100- m）棵白杨树苗
根据题意得：40m+30x(100-m )≤3200
解得：m≤20
答：最多可购买20棵银杏树苗．
24.（12 分）在 “探究性学习” 小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2 xy+4x 4y =(x2 xy)+(4x 4y)（分成两组） =x(x y)+4(x y)（直接提公因式） =(x y)(x+4) 乙：a2 b2+c2+2bc =a2 (b2+c2 2bc)（分成两组） =a2 (b c)2（直接运用公式） =(a+b c)(a b+c)
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2 9 2ab。
（2）若a b= 5，b c=3，求式子ab bc+ac a2的值。
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2 b2 ac+bc=0，则△ABC为 三角形，并说明理由。
（1）=（a2+b2 2ab） 9
=（a﹣b）2﹣9
=（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
（2）=（ab﹣a2）+（ac﹣bc）
=a（b﹣a）﹣c（b﹣a）
=（b﹣a）（a﹣c）
将a b= 5，b c=3代入得﹣5×2=﹣10
（3）等腰
25.（12分）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90 ，以C为底角顶点作等腰Rt△CED，使∠CED=90 ，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF。
（1）如图 1，当点E在AC边上（不与点A、C重合），且点D在△ABC外部时，判断△AEF中，AE与EF的数量关系为______，位置关系为______；
（2）如图 2，将图 1 中△CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE。求证：AF=AE；
（3）如图 3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当AD=AB，且△CED在△ABC的下方时，若AB=，CE=，求线段AE的长。
（1）AE=EF AE⊥EF
（2）连接EF，设DF交BC于点K
∵四边形 ABFD 是平行四边形，
∴AB // DF
∴∠DKE =∠ABC =45°
∴DE = EK ,∠EKF =180°-∠DKE =135°
∵∠ADE =180°-∠EDC =180°-45°=135°
∴∠EKF =∠ADE
∵∠DKC =∠C
∴DK = DC
∵DF = AB = AC
∴KF = AD
∴△EKF≌△EDA ( SAS )
∴EF = EA , ∠KEF =∠AED
∴∠FEA =∠BED =90°
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴AF =AE
（3）AE=3