第四章 对数运算和对数函数--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（含解析）

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第四章 对数运算和对数函数--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷
一、选择题
1．若,,则下列各式中恒等的是( )
A. B. C. D.
2．计算( )
A. B. C.4 D.5
3．函数的定义域为( )
A. B.R C. D.
4．已知函数,在下列区间中,一定包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
5．大部分大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为,其中O表示鱼的耗氧量的单位数,若鲑鱼的游速每增加,则它的耗氧量的单位数是原来的( )
A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.9倍
6．已知，，，则( )
A. B. C. D.
7．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
8．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
9．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的,它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历,用画图软件拟合了自己的遗忘曲线,得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）y与初次记忆经过的时间的函数关系式为,当其记住的单词仅剩25个时,( )参考数据：,.
A. B. C. D.
10．已知是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
11．下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12．下列各式正确的有( )
A. B.
C.若，则 D.若，则
13．下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
14．已知正数x，y，z满足，则下列不等关系正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
15．设函数,则______________.
16．函数（且）的图象恒过定点____________.
17．函数（且）图象恒过定点A,则点A的坐标为_________________.
18．如图是对数函数的图像,已知a取,,,,则相应于,,,的a值依次为________.
四、解答题
19．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
20．若，则___________.
21．（例题）已知某地区第一年的经济增长率为a（且a为常数），第二年的经济增长率为，这两年的平均经济增长率为y，写出y与x的关系，并求y的最小值.
22．求证：.
23．已知函数（且）,,.
（1）求a,b的值;
（2）若函数,求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A,,,,所以A错;
对于B,,,所以B错;
对于C,,,,所以C错;
对于D,,所以D对;
故选:D
2．答案：B
解析：.
故选：B.
3．答案：D
解析：由题意得,解之得或,
则函数的定义域为或.
故选:D
4．答案：A
解析：函数,都是R上的增函数,则函数是R上的增函数,
而,,
所以的零点在区间内.
故选：A.
5．答案：D
解析：设鲑鱼的游速为时的耗氧量的单位数为,游速为时的耗氧量的单位数为.
由,得,整理得.
故选：D.
6．答案：C
解析：依题意，，
，，
所以.
故选：C
7．答案：A
解析：易知,,,
又因为,
即,所以,
所以.
故选：A.
8．答案：A
解析：函数分成内外层函数,,
但内外层函数单调性一致时,函数单调递增,此时外层函数单调递减,
内层函数的对称轴是,且,解得：,
则内层函数的单调递减区间是,综上可知函数的单调递增区间是.
故选：A.
9．答案：C
解析：根据题意得,整理得到,
两边取以10为底的对数,得到,
即,又,
所以,得到.
故选：C.
10．答案：C
解析：因为是R上的单调递减函数,
所以,解得.
故选：C.
11．答案：ABC
解析：根据对数的性质可知,,,,,
故ABC正确;D错误.
故选：ABC.
12．答案：ABD
解析：A：，正确；
B：，正确；
C：由，即，错误；
D：由，即，正确；
故选：ABD
13．答案：AD
解析：对于A：，故A正确；
对于B，负数的3次方根是一个负数，
，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，是非负数，
所以，故D正确；
故选：AD.
14．答案：ACD
解析：令，则，，，.
A选项：，故A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：，故；，故；
从而，故C正确；
D选项：由A知，则，故D正确.
故选：ACD.
15．答案：
解析：因为,则,
所以,.
故答案为：.
16．答案：
解析：令,解得,又,
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
17．答案：
解析：由对数函数的性质,令可知.
所以（且）图象恒过定点,
故答案为：.
18．答案：,,,
解析：,的底数都大于1,当时底数大的图低(第一象限内),
所以,对应的a值分别为,,
,的底数都大于0小于1,当时底数大的图低(第四象限内),
所以,对应的a值分别为,,
综合以上解题思路,可得,,,对应的a值依次为,,,.
故答案为:,,,.
19．答案：见解析
解析：经时间x，癌细胞数量为y，图象如图.
20．答案：2
解析：由可得，
则
故答案为：2
21．答案：，；y有最小值
解析：根据题意有，
从而有，.
显然，上述函数是增函数，因此时，y有最小值.
22．答案：证明见解析
解析：左边右边，得证.
23．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）由题意得,,,所以,
（2）由（1）知,,
则
所以,则
所以,
故.
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