第五章 函数应用--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（含解析）

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第五章 函数应用--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷
一、选择题
1．已知函数的零点在区间内,且,则n的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
2．已知函数的零点在区间内,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知函数在区间内有唯一零点,则b的取值范围是( )
A.R B. C. D.
4．某科研小组培育一种水稻新品种,由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子,以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子,则第10代得到的种子数为( )参考数据：,
A. B. C. D.
5．已知函数,,的零点依次为a,b,c,则( )
A. B. C. D.
6．已知函数，，若函数与的图象有三个交点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2024年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆 绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水 雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）.如果前3个小时消除了的污染物,那么污染物消除至最初的还要( )
A.小时 B.3小时 C.3.2小时 D.4小时
8．函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
9．函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
10．若m为函数的零点，则m所在区间为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
11．下列函数图象与x轴均有交点,其中能用二分法求其零点的是( )
A. B.
C. D.
12．如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:）与时间t（单位:月）的关系为,则( )
A. B.第4个月时,浮萍面积超过
C.浮萍每月增加的面积都相等 D.浮萍每月的增长率为2
13．已知函数在定义域R上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为( )
A.0.6 B.0.68 C.0.7 D.0.72
14．函数的零点所在区间不可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题
15．用二分法求函数在区间上的零点的近似值,由计算得,,,.下一个求,则_____________.
16．函数的零点所在区间为,,则n的值为________.
17．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为________.
18．用二分法研究函数的零点时,第一次经过计算得,,则第二次应计算的函数值是______________.
四、解答题
19．（例题）求证：函数至少有一个零点.
20．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
①函数是区间上的增函数；
③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）.
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
21．渔场中鱼群的最大养殖量为,为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量小于,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比,比例系数为.
（1）写出y关于x的函数关系式,并求鱼群年增长量y的最大值;
（2）当鱼群年增长量y达到最大值时,求实数k的取值范围.
22．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了，如果按此规律（即每50年减少），设2010年的湖水量为m，从2010年起过x年后湖水量为y.试写出y与x的函数关系式.
23．已知函数.
(1)若为偶函数,求实数m的值;
(2)当时,若不等式对任意恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当时,关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为函数定义域为R,与均在R上单调递增,
所以在R上单调递增,又,,即,
由零点存在性定理可得,的零点所在区间为,所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,,
所以函数在区间内有零点,所以.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为函数在区间内有唯一零点,
故在区间上只有一个根.
又在上单调递减,其值域为.
故要满足题意,只需.
故选：D.
4．答案：C
解析：由题意,第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
5．答案：A
解析：,,,且,
,,,
故选：A.
6．答案：C
解析：因为函数与的图象有三个交点，
所以，
当时，方程必然成立，
当时，分离参数可得，则与有两个交点，
若，则，若，则，如图所示，
结合图像，要与有两个交点，需满足.
故选：C
7．答案：B
解析：由题意可得,解得,
令,
可得,解得,
所以污染物消除至最初的还要3小时.
故选：B.
8．答案：C
解析：对于,则为R上的增函数,
而,,,,,由于,
根据零点存在性定理,知道函数的零点所在区间为.
故选：C.
9．答案：C
解析：因为函数和函数在上都单调递增,
所以函数为增函数,
又,,,,
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
10．答案：B
解析：函数为上的增函数，
又，
且，
因为，
所以m所在区间为.
故选：B
11．答案：AC
解析：由二分法的定义知,若函数在区间上连续,且满足,
则可以利用二分法求函数的零点的近似值,
所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号,不能用二分法求函数零点,
选项A、C中函数零点左右函数值变号,能用二分法求函数零点.
故选:AC.
12．答案：ABD
解析：由图可知,函数过点,将其代入解析式,可得,A正确;
所以,可得第4个月的浮萍面积为,超过了,B正确;
前3个月的浮萍面积,分别为,,,
从前3个月浮萍面积可看出,每月增加的面积不相等,C不正确;
每月增长率为,故每月增长率为2,D正确.
故选:ABD
13．答案：BCD
解析：因为，，，
所以函数的零点所在的区间为，
而，
所以函数的一个误差不超过0.05的零点可以为0.68或0.7或0.72.
故选：BCD.
14．答案：ACD
解析：由可知函数的定义域为,函数在定义域上单调递减,
对于A,因,,则,故函数在区间上无零点,故A符合题意;
对于B,因,,则,故函数在区间上有零点,故B不符合题意;
对于C,因,,则,函数在区间上无零点,故C符合题意;
对于D,因,,则,故函数在区间上无零点,故D符合题意.
即函数的零点所在区间不可能是ACD.
故选：ACD.
15．答案：
解析：由二分法的求解过程知,下一个为,所以.
故答案为：.
16．答案：1
解析：在R上递增,
,,
所以的零点在区间,
所以n的值为1.
故答案为:1
17．答案：
解析：因为，作出的大致图象如图所示，
则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点，
由图可知，即实数m的取值范围为.
故答案为：
18．答案：
解析：由函数的零点时,第一次经过计算得,,
即,可得零点,
根据二分法,第二次计算.
故答案为：.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以，因此，，即结论成立.
20．答案：(1)选项模型（Ⅲ），；
(2)37分钟
解析：（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型（1），，为线性增长，不合题意；
对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；
对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），
此时，所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为
（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟
21．答案：（1）,,;
（2）
解析：（1）由题意,空闲率为,
关于x的函数关系式是:,
,,,
则函数在上单调递增,在上单调递减,
当时,.
（2）由（1）知,当鱼群年增长量y达到最大值时,,
由题意有,即,
,
又,的取值范围为.
22．答案：
解析：设每年湖水减小的面积百分比为a，
则，即，
.
23．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)定义域为R,
因为为偶函数,所以,
即,
即,解得：,
此时,定义域为R,
且,
所以为偶函数,符合题意,
所以;
(2)当时,,
不等式,即,
可化为：,
即对任意恒成立,
记,,只需,
因为在上单调递增,在上单调递增,
所以在上单调递增,所以,
所以,解得：,
即实数a的取值范围为;
(3)当时,在R上单调递增,在R上单调递增,
所以在R上单调递增,且,
则可化为,
又因为在R上单调递增,所以,
换底得：,
即,
令,则,
问题转化为在上有两不同实数根,
即,有两不同实数根,
令,,
分别作出图象如图所示：
故在上有两根,只需,解得：,
即实数m的取值范围为.
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