第一章　预备知识--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（含解析）

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第一章　预备知识--高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷
一、选择题
1．设集合,,若,则( )
A. B.1 C.2 D.3
2．下面说法中,正确的为( )
A.且或
B.
C.
D.集合不满足元素的互异性
3．已知集合,则( )
A. B. C. D.
4．下面给出的四类对象中,能构成集合的是( )
A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人
C.的近似值 D.方程的实数根
5．已知,,若集合,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
6．设x为实数,,,若,则x的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．已知集合,,则下列判断错误的是( )
A. B. C. D.
8．已知a，b均为正数，且，则的最小值为( )
A.11 B.13 C.10 D.12
9．已知全集,集合,,则如图阴影部分表示的集合是( )
A. B.或
C. D.
10．设集合,若,则x的值为( )
A. B. C.1 D.0
二、多项选择题
11．若对于,都有,则m的值可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12．下列说法正确的有( )
A.若,则的最小值为
B.若,则的最小值为6
C.若,则的最小值为
D.已知a,b都是正数,且,则
13．已知x,y都为正数,且,则下列说法正确的是( )
A.xy的最大值为2
B.4x2＋y2的最小值为8
C.＋的最小值为8
D.＋的最大值为
14．已知,,,则下列结论正确的是( )
A.的最小值为
B.的最大值为
C.的最小值为1
D.的最小值为4
三、填空题
15．设集合,则集合A的子集个数为_______________.
16．若不等式对任意的恒成立,则实数a的最大值是___________.
17．已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有________个.
18．已知,,,的最大值为________.
四、解答题
19．已知函数.
(1)若关于x的不等式的解集为,求a,b的值;
(2)当时,若关于x的不等式在R上恒成立,求b的取值范围.
20．如图,已知直线,A是,之间的一定点,并且点A到,的距离分别为,,B是直线上的一动点,作,且使与直线交于点C.设.
(1)写出面积S关于角的函数解析式;
(2)求的最小值.
21．已知二次函数满足,且的图像经过点.
（1）求的解析式;
（2）若,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
22．已知函数,.
(1)若,写出的单调区间（不必证明）;
(2)若是偶函数,求a的值;
(3)若,,求的最小值.
23．已知关于x的不等式的解集为A,其中.
(1)若,求k的值;
(2)求不等式的解集A.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得,若,解得,此时,,成立;
若,解得,此时,,不成立;
若,解得,此时,,不成立;
综上所述：．
故选：B．
2．答案：C
解析：对于选项A：例如且,但或,
所以且或,故A错误;
对于选项B：集合是点集,集合是数集,
两个集合的元素不相同,所以,故B错误;
对于选项C：因为集合,元素相同,
所以,故C正确;
对于选项D：集合只有一个元素,符合集合的互异性,故D错误;
故选：C.
3．答案：C
解析：集合,
,A选项错误;
,元素与集合不能用符号,B选项错误;
根据子集的定义,有,C选项正确;
集合不是集合M中的元素,不能用符号,D选项错误.
故选：C.
4．答案：D
解析：对于A,描述的对象“视力较好”不确定,不能构成集合,A不是;
对于B,描述的对象“长寿”不确定,不能构成集合,B不是;
对于C,没有给出精确度,描述的对象“的近似值”不确定,不能构成集合,C不是;
对于D,方程的实数根是和1,明确可知,能构成集合,D是.
故选:D
5．答案：B
解析：根据题意,故,则,
故,则,即,
当时,与集合的互异性相矛盾,故舍去,
当,时,,符合题意,
所以,
故选:B.
6．答案：B
解析：由题意得,当,时,解得.本情况符合题意,其它情况下B不符合题意,故排除.
故选：B.
7．答案：A
解析：依题意可得,所以,,,.
故选:A.
8．答案：A
解析：，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
9．答案：C
解析：由题意或,
图中阴影部分为,
故选：C.
10．答案：A
解析：,,若,不满足集合元素的互异性,
故,.
故结果选A.
11．答案：AB
解析：依题意,命题等价于恒成立,
所以,解得,即,故AB正确,CD错误.
故选：AB.
12．答案：ABD
解析：对于A,因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,
所以时,的最小值为,故A正确;
对于B,因为,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,
所以当时,的最小值为6,故B正确;
对于C,因为,所以,
当且仅当,即时,等号成立,所以当时,的最大值为,故C错误;
对于D,由,所以,因为a,b都是正数,所以,,
所以,
当且仅当,且,即,时,等号成立,
所以,故D正确;
故选：ABD.
13．答案：AB
解析：因为,,,所以,即,
当且仅当时取等号,故A正确;
,当且仅当时取等号,故B正确;
,
当且仅当时取等号,故C错误;
,即,
当且仅当时取等号,故D错误.
故选：AB
14．答案：BC
解析：对于A,由,,,得,当且仅当时取等号,A错误;
对于B,由,得,B正确;
对于C,,当且仅当时取等号,C正确;
对于D,,当时,,D错误.
故选：BC.
15．答案：16
解析：,
故A的子集个数为,
故答案为：16.
16．答案：
解析：当时,,不对任意的恒成立,不符合;
当时,由题可知,且,解得,故实数a的最大值是.
故答案为：.
17．答案：7
解析：由，则集合M中一定有元素1，3，5，7，
且至少含有2，4，6其中一个元素，
则这样的集合M共有个.
故答案为：7.
18．答案：1
解析：由基本不等式得.
故答案为:11
19．答案：(1)a,b的值分别为,,或,.
(2).
解析：(1)由题意可知,,1是方程的两根,
所以,,
解得,或,.
故a,b的值分别为,,或,.
(2)当时,,
若在R上恒成立,即的图象与x轴至多有一个交点,
则,
即,解得,
故b的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题可得,在直角三角形中, ,则,同理,
在直角三角形中可得,则在直角三角形中,
即
(2)由(1)得,要求的最小值,即求的最大值,
即当时,的最大值为1,
因此.
21．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设,
则,
所以,
又,所以,
则,解得,,则,
因为的图象经过点,所以,即.
故.
（2）设.
因为当时,不等式恒成立,
所以只需,即,解得.
故m的取值范围是.
22．答案：(1)单调递减区间为,,单调递增区间为,;
(2)a的值为0;
(3).
解析：(1)由题意,当时函数,且函数的定义域为R,
所以,
从而其单调递减区间为,;单调递增区间为,.
(2)因为是偶函数,所以,
由于,则,
从而,两边平方得,
从而,此式对任意恒成立,得,故a的值为0.
(3)首先,时不等式恒成立,接下来考虑的情况：
①当时,,因为,所以,;
②当时,,,
因为,当且仅当时等号成立,所以,
所以,当且仅当,时,等号成立;
法一：③当时,问题等价于当时,恒成立;当时,恒成立.
令,命题等价于,
而最大值只可能在,,三处取得,只需,
即,可得,
若,则;若,则;
④当时,,,
易知函数在上单调递增,故当时,取到最大值,
所以,所以;
综上,当,时,的最小值为.
法二：③当时,由对任意恒成立,取可得成立,
则,若,则,
若,则,所以当,有.
综上,当,时,的最小值为.
23．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时,关于x的方程的两根为1,2,
由韦达定理可得,解得.
(2)原不等式可化为.
当时,原不等式为,解得,;
当时,方程的根为,,
当时,不等式可化为,解得或,或;
当,即时,原不等式为,;
当,即时,不等式可化为,解得,;
当,即时,不等式可化为,解得,.
综上所述,当时,或;当时,;
当时,;当时,;当时,.
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