24.1.4圆周角（1）
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课题：24.1.4圆周角（1）
教学目标：
1．了解圆周角和圆心角的关系。
2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征，能运用圆周角的性质解决问题。
3．在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题。
重点：圆周角与圆心角的关系、圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。
难点：发现并论证圆周角定理.
教学过程：
一、情境引入
观察图24—6—1是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
(
图
24-6
—
1
)
解：∠AOB=2∠ACB，∠ADB=∠AEB
二、新课讲授
1.定义：我们把像图24—6—1中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。（比较圆心角的定义，举反例）
上面的问题就是要研究同弧AB所对的圆心角（∠AOB）与圆周角（∠ACB）、同弧所对的圆周角（∠ACB、∠ADB、∠AEB等）之间的大小关系。
2．圆周角定理的证明：（分类思想，化归思想）
(
点
O
在
∠ACB
的一边上：
点
O
在
∠ACB
的内：
点
O
在
∠ACB
的外：
)按圆心O与∠ACB得位置关系，可分为三种情况： 求证：∠ACB=1/2∠AOB
归纳：
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
注意：若证明所对的弦相等：圆周角 弧 弦；或圆周角 圆心角 弦
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。（作用：构造直角三角形）
反之，90°的圆周角所对的弦为直径。 （作用：证明弦是直径）
三、例题讲解
1．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线
(
第
2
题
)把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
解：由同弧所对的圆周角相等可得：∠1=∠4，∠2=∠7，
∠3=∠6，∠5=∠8。
2．如图，AB是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠O的度数为（ B ）
A．35° B．70° C．105° D．150°
3．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，
BC===8
∵CD平分∠ACB，∴AD=BD ∴AD=BD
又在Rt△ABD中，
AD2+BD2=AB2， ∴AD=BD=AB=×10=（cm）
四、课堂小结
1.圆周角定理及推论.
2.数学思想：分类思想和化归思想.
五、布置作业
练习1：
1．下列命题中，假命题是（C）
A．能够完全重合的弧是等弧
B．等弧所对的圆周角相等
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
D．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍
2．一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的3倍，这条弦所对的圆周角为45°或135°。
(
第
3
题
)点拨：在圆中，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，解题时，考虑问题要全面。
3．（2009.四川成都）如图24-6-8，△ABC内接于⊙O，AB=BC，
∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，BD=。
点拨：本题利用“直径所对的圆周角是直角”得Rt△ABD，所以要求BD，
需求∠ADB，再利用“同弧所对的圆周角相等”得∠ADB=∠C=30°。
(
第
4
题
)4．如图，24-6-9已知△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，
求⊙O的直径。
解：连接OB、OC
∵∠A=30° ∴∠BOC=60°
∵OB=OC ∴△BOC是等边三角形
∴OB=BC=4cm ∴⊙O的直径为8cm
点拨：本题还可以过B或C作直径，构造直角三角形，利用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求解。
5．直线AB分别交圆于A，B两点，点M在圆上， P在圆外，且点M，P在AB同侧，∠APB=50°。设∠APB=x°，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由。
点拨：设PA与圆交于点E，连结EB，
由同弧所对的圆周角相等可得∠AEB=∠M，
再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角
可得x的取值范围。
解：0＜x＜50
理由：因为P在⊙O外，设AP与⊙O相交于点E，连结BE，则∠AEB=∠AMB=50°，
又∵∠AEB＞∠APB，∴∠APB＜50°，∵P、M在AB同侧，∴∠APB＞0°，∴0＜x＜50。
6．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B。
(
第
6
题
)点拨：∠D、∠B是圆中两个圆周角，
因此考虑得它们所的弦CAF、ACE相等。
解：∵AB、CD是⊙O的直径 ∴弧CFD=弧AEB
∵DF=BE ∴弧DF=弧BE
∴弧CFD—弧DF=弧AEB—弧BE即弧CAF=弧ACE
∴∠D=∠B
练习2
1．下列说法中正确的是（D）
A．顶点在圆上的角叫做圆周角 B．相等的圆周角所对的弧相等
C．圆心角的度数等于所对弧的2倍 D．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
2．（2009年枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点∠AOC=130°，则∠D等于（A）
A．25° B．30° C．35° D．50°
3．（2009年云南省）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（B）
A．35°B．55°C．65°D．70°
4．（2009，天津）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（D）
A．28° B．56° C．60° D．62°
5．（2009，四川南充）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD等于（D）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（2009肇庆）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
点P在⊙上，则∠APB等于（B）
A．30° B．45° C．55° D．60°
7．（2009泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（D）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
8．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，且∠AOB=2∠BOC。
求证：∠ACB=2∠BAC
分析：利用一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，可得
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
又∠AOB=2∠BOC
∴∠ACB=2∠BAC
9．如图，弧BD的度数为60°，弧AC的度数为20°，PB分别交⊙O于A、B两点；PD经过圆心O，且分别交⊙O于C、D两点。求∠BPD的度数。
解：连接BC
由题意∠BCD=30°，∠PBC=10°，
∵∠BCD=∠PBC+∠BPD
∴∠BPD=∠BCD—∠PBC=20°
10．如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=70°，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，求弧AD，DE，BE所对圆周角的度数。
答：20°，35°，35°。
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB=2，AC=。在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数。
答：当AD和AC在AB的异侧时，可求出∠CAD=∠OAD+∠CAB=105°
当AD和AC在AB的同侧时，可求出∠CAD=∠OAD—∠CAB=15°
(
第
10
题
第
11
题
第
12
题
)
12．如图，⊙C经过原点，与两坐标轴分别相交于A、D两点，并且∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），求点A的坐标及圆心C的坐标。
点拨：连接AD A（，0）C（，1）
13．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是劣弧AC上一动点，连接PB分别交AD、AC于E、F。
(
第
13
题
)⑴当AP=AB时，求证：AE=EB；
点拨：连接AB、AP
∵AP=AB ∴∠ABP=∠P
∵BC为⊙O直径 ∴∠BAC=90°
又AD⊥BC 可证∠BAE=∠C
∵∠C=∠P ∴∠BAE=∠P
∴∠ABE=∠BAE ∴AE=EB
⑵当P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论。
分析：要使AF=EF，则∠FAE=∠AEF
∠AEF=∠BED，∠BED+∠EBD=90°
∠FAE+∠C=90°∴要使∠EBD=∠C ∴要使弧PC=弧AB
即当点P在使弧PC=弧AB的位置时，有AF=EF
(
A
O
B
A
B
C
O
)14.如图（1）把⊙O放在一条长度等于其周长的线段AB上的A点处，当⊙O从A点无滑动地滚动到点B时，⊙O将转 周; 把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上如图2，沿ABCA的线路无滑动地滚动一周，回到原来的位置，则⊙O将转动几周 说明理由.
教学目标：
1．了解圆周角和圆心角的关系。
2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征，能运用圆周角的性质解决问题。
3．在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题。
重点：圆周角与圆心角的关系、圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。
难点：发现并论证圆周角定理.
教学过程：
一、情境引入
观察图24—6—1是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
(
图
24-6
—
1
)
解：∠AOB=2∠ACB，∠ADB=∠AEB
二、新课讲授
1.定义：我们把像图24—6—1中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。（比较圆心角的定义，举反例）
上面的问题就是要研究同弧AB所对的圆心角（∠AOB）与圆周角（∠ACB）、同弧所对的圆周角（∠ACB、∠ADB、∠AEB等）之间的大小关系。
2．圆周角定理的证明：（分类思想，化归思想）
(
点
O
在
∠ACB
的一边上：
点
O
在
∠ACB
的内：
点
O
在
∠ACB
的外：
)按圆心O与∠ACB得位置关系，可分为三种情况： 求证：∠ACB=1/2∠AOB
归纳：
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
注意：若证明所对的弦相等：圆周角 弧 弦；或圆周角 圆心角 弦
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。（作用：构造直角三角形）
反之，90°的圆周角所对的弦为直径。 （作用：证明弦是直径）
三、例题讲解
1．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线
(
第
2
题
)把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
解：由同弧所对的圆周角相等可得：∠1=∠4，∠2=∠7，
∠3=∠6，∠5=∠8。
2．如图，AB是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠O的度数为（ B ）
A．35° B．70° C．105° D．150°
3．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，
BC===8
∵CD平分∠ACB，∴AD=BD ∴AD=BD
又在Rt△ABD中，
AD2+BD2=AB2， ∴AD=BD=AB=×10=（cm）
四、课堂小结
1.圆周角定理及推论.
2.数学思想：分类思想和化归思想.
五、布置作业
练习1：
1．下列命题中，假命题是（C）
A．能够完全重合的弧是等弧
B．等弧所对的圆周角相等
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
D．一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍
2．一条弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的3倍，这条弦所对的圆周角为45°或135°。
(
第
3
题
)点拨：在圆中，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，解题时，考虑问题要全面。
3．（2009.四川成都）如图24-6-8，△ABC内接于⊙O，AB=BC，
∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，BD=。
点拨：本题利用“直径所对的圆周角是直角”得Rt△ABD，所以要求BD，
需求∠ADB，再利用“同弧所对的圆周角相等”得∠ADB=∠C=30°。
(
第
4
题
)4．如图，24-6-9已知△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，
求⊙O的直径。
解：连接OB、OC
∵∠A=30° ∴∠BOC=60°
∵OB=OC ∴△BOC是等边三角形
∴OB=BC=4cm ∴⊙O的直径为8cm
点拨：本题还可以过B或C作直径，构造直角三角形，利用“在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”来求解。
5．直线AB分别交圆于A，B两点，点M在圆上， P在圆外，且点M，P在AB同侧，∠APB=50°。设∠APB=x°，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由。
点拨：设PA与圆交于点E，连结EB，
由同弧所对的圆周角相等可得∠AEB=∠M，
再利用三角形的外角大于任一不相邻的内角
可得x的取值范围。
解：0＜x＜50
理由：因为P在⊙O外，设AP与⊙O相交于点E，连结BE，则∠AEB=∠AMB=50°，
又∵∠AEB＞∠APB，∴∠APB＜50°，∵P、M在AB同侧，∴∠APB＞0°，∴0＜x＜50。
6．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B。
(
第
6
题
)点拨：∠D、∠B是圆中两个圆周角，
因此考虑得它们所的弦CAF、ACE相等。
解：∵AB、CD是⊙O的直径 ∴弧CFD=弧AEB
∵DF=BE ∴弧DF=弧BE
∴弧CFD—弧DF=弧AEB—弧BE即弧CAF=弧ACE
∴∠D=∠B
练习2
1．下列说法中正确的是（D）
A．顶点在圆上的角叫做圆周角 B．相等的圆周角所对的弧相等
C．圆心角的度数等于所对弧的2倍 D．圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
2．（2009年枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点∠AOC=130°，则∠D等于（A）
A．25° B．30° C．35° D．50°
3．（2009年云南省）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（B）
A．35°B．55°C．65°D．70°
4．（2009，天津）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（D）
A．28° B．56° C．60° D．62°
5．（2009，四川南充）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD等于（D）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（2009肇庆）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
点P在⊙上，则∠APB等于（B）
A．30° B．45° C．55° D．60°
7．（2009泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=，则弦AB所对圆周角的度数为（D）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
8．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，且∠AOB=2∠BOC。
求证：∠ACB=2∠BAC
分析：利用一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，可得
∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
又∠AOB=2∠BOC
∴∠ACB=2∠BAC
9．如图，弧BD的度数为60°，弧AC的度数为20°，PB分别交⊙O于A、B两点；PD经过圆心O，且分别交⊙O于C、D两点。求∠BPD的度数。
解：连接BC
由题意∠BCD=30°，∠PBC=10°，
∵∠BCD=∠PBC+∠BPD
∴∠BPD=∠BCD—∠PBC=20°
10．如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC=70°，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，求弧AD，DE，BE所对圆周角的度数。
答：20°，35°，35°。
11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB=2，AC=。在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数。
答：当AD和AC在AB的异侧时，可求出∠CAD=∠OAD+∠CAB=105°
当AD和AC在AB的同侧时，可求出∠CAD=∠OAD—∠CAB=15°
(
第
10
题
第
11
题
第
12
题
)
12．如图，⊙C经过原点，与两坐标轴分别相交于A、D两点，并且∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），求点A的坐标及圆心C的坐标。
点拨：连接AD A（，0）C（，1）
13．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是劣弧AC上一动点，连接PB分别交AD、AC于E、F。
(
第
13
题
)⑴当AP=AB时，求证：AE=EB；
点拨：连接AB、AP
∵AP=AB ∴∠ABP=∠P
∵BC为⊙O直径 ∴∠BAC=90°
又AD⊥BC 可证∠BAE=∠C
∵∠C=∠P ∴∠BAE=∠P
∴∠ABE=∠BAE ∴AE=EB
⑵当P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论。
分析：要使AF=EF，则∠FAE=∠AEF
∠AEF=∠BED，∠BED+∠EBD=90°
∠FAE+∠C=90°∴要使∠EBD=∠C ∴要使弧PC=弧AB
即当点P在使弧PC=弧AB的位置时，有AF=EF
(
A
O
B
A
B
C
O
)14.如图（1）把⊙O放在一条长度等于其周长的线段AB上的A点处，当⊙O从A点无滑动地滚动到点B时，⊙O将转 周; 把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC上如图2，沿ABCA的线路无滑动地滚动一周，回到原来的位置，则⊙O将转动几周 说明理由.
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