24.1.4圆周角（2）

课题：24.1.4圆周角（2）
教学目标：
1．复习圆周角定理及推论.
2．探索圆内接四边形的性质.
重点：圆内接四边形的性质.
难点：应用圆内接四边形的性质.
教学过程：
一、复习引入
1、复习圆周角定理及其推论
2、问题：你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？
①利用对称性，两次对折纸片找到直径的交点；
②利用“90度的圆周角所对的弦是直径”来找到直径的交点；
③利用垂径定理的推论，作两条弦的垂直平分线。
3、习题
①如图，点D为的中点，与∠ABD相等的角的个数是（ B ）
A.4 B.3 C.2 D.1
②如图，在⊙O中，弦AB=1.8cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为 3.6 cm。
二、新课讲授
1、圆内接四边形定义：
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是这个圆的内接四边形。
2、如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？
证明你的发现。
解：发现：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
理由如下：连接OB,OD
在⊙O中，∠A所对的弧为，∠A所对的弧为，
又∵与所对的圆心角的度数之和为360°，
∴∠A+∠C=360°=180°.
同理：∠B+∠D=180°.
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
三、例题讲解：
例1.如图，若∠AOB=70°，点C是⊙O上不与点A、B重合的任一点，
则∠ACB=35°或145°
点拨：点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上，注意不要漏解。
变题：若∠ACB=130°，则∠AOB=100°
例2.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是劣弧AC上一动点，连接PB分别交AD、AC于
点E、F。
⑴当AP=AB时，求证：AE=EB；
⑵当P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论。
证明：（1）方法一：连接AB、AP
∵AP=AB ∴∠ABP=∠P
∵BC为⊙O直径 ∴∠BAC=90°
又AD⊥BC 可证∠BAE=∠C
∵∠C=∠P ∴∠BAE=∠P
∴∠ABE=∠BAE ∴AE=EB
方法二：延长AD交⊙O于点G，
由垂径定理可得，,
∵,∴
∴∠1=∠2.
（2）分析：要使AF=EF，则∠FAE=∠AEF
∠AEF=∠BED，∠BED+∠EBD=90°
∠FAE+∠C=90°∴要使∠EBD=∠C ∴要使
即当点P在使的位置时，有AF=EF.
例3. 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
已知：如图，CO是△ABC的边AB上的中线，.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：点O为AB的中点，以AB为直径作⊙O
∵AO=BO=CO
∴点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形.
四、课堂反馈
1. 如图）（1），AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线交AB所在的直线于E，交⊙O于F.
猜想图中∠CEB与∠D的关系（不必证明）；
操作：将直线绕点C旋转（不与CD重合），在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，表上相应的字母；
在你画出的两个图形中，选出其中一个图形证明你的猜想.
注：若直线旋转至CD左侧，不妨探索一下，结论是否一样。
2. 如图所示，△ABC的顶点都在圆上，AB>AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F. 求证：BE=CF.
五、课堂小结
1、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
六、布置作业