北京交大附中 2024－2025 学年第二学期期中练习
初二数学
命题人：初二数学组 审题人：初二数学组 2025.04
说明：本试卷共 6 页，共 100分。考试时长 90分钟。
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. 12 B. 6 C.
1 D. 0.5
3
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 3， 7 ，5 C. 5，12，13 D. 4，4，8
3．如图所示的图象分别给出了 y与 x的对应关系，其中能表示 y是 x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． 3 2 6 B． 8 3 5 C． 2 3 2 3 D． 27 3 9
5．直线 y 3x 1向下平移 2 个单位，所得直线的函数解析式是（ ）
A． y 3x 3 B． y 3x 2 C． y 3x 2 D． y 3x 1
6．在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
7．如图，在△ABC中，点 D、点 E分别是 AB，AC的中点，点 F是 DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，
AC＝6cm，则 DF长为（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
7题图 8 题图
8. 如图①，在正方形 ABCD中，点 E是 AB的中点，点 P是对角线 AC上一动点，设 PC x，PE PB y，
图②是 y关于 x的函数图象，且图象上最低点 Q的坐标为 m, 2 5 ，则正方形 ABCD的边长为（ ）
A. 4 B. 2 5 C. 2 2 D. 5
1
二、填空题（本题共 16分，每题 2分）
9. 要使 x 3有意义，则 x的取值范围是__________．
10. 写出一个过点（0，1）且 y 随 x 增大而减．小．的一次函数关系式 ．
11．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交 CD于点 E．如果 AD＝2.7，DE＝1.3，那么 AB的长为 ．
12. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，且 AC BC BD 1，纸片上的点 A表示
的数是 2，若以点 A 为圆心， AD的长为半径画弧，与数轴交于点 E（点E位于点A右侧），则点 E表
示的数为________．
11 题图 12 题图 1155题题图图
13.已知一次函数 y=kx+2 (k ≠ 0)的图象与坐标轴围成的三角形面积为 2，则 k的值是 ．
14.已知直线 l的函数解析式为 y 2x 1，直线 l1与直线 l关于 x轴对称，则直线 l1的解析式为 .
15.如图，矩形 ABCD中， AB 6， BC 8，点 E是 BC边上一点，连接 AE，将 ABE沿 AE折叠，
使点 B落在点B 处，连接CB ．当CB ∥AE时， BE 的长为___________．
16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需 A，B，C，D，E，
F，G七道工序，加工要求如下：
①工序 C，D须在工序 A完成后进行，工序 E须在工序 B，D都完成后进行，工序 F须在工序 C，D都
完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 6 8 11 3
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 _____分钟；
若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 _____分钟．
三、解答题（本题共 60分，第 17题每小题 5分，第 18-22，24题每题 5分，第 23题 6分，第 25，26每
题 7分）
17. 计算：
2
（1） 12 8 3 2 27 （2） 3 2 3 2
2
18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°，
求作：矩形 ABCD，
作法：如图，
①作线段 AC的垂直平分线交 AC于点 O；
②连接 BO并延长，在线段 BO的延长线上截取 OD＝OB；
③连接 AD，CD．
所以四边形 ABCD即为所求作的矩形.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形 ABCD是平行四边形（ ）．（填推理的依据）
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形 ABCD是矩形（ ）．（填推理的依据）
19．已知：如图，在 ABCD中，点 E，F分别在 AB，CD上，连接 DE，BF，分别与对角线 AC交于点 M，
N．且∠AME＝∠CNF．
求证：四边形 DEBF是平行四边形．
20．某农户欲购买“白银 2号”种子，如果一次性购买10kg 以上的种子，则超过10kg部分的种子价格会
打折出售．购买种子所需的付款金额 y（单位：元）与购买量 x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象，购买种子不超过10kg 时，每千克种子的价格为 元，写出此时 y关于 x的函数
关系式： （不写出自变量的取值范围） ；
（2）当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少 kg 种子？
3
21．如图，△ABC中，AB的垂直平分线 DE分别交 AC、AB于点 D，E，且 AD2 DC 2 BC 2 ．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若 AC＝8，BC＝4，求 AD的长．
22．已知一次函数 y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和 y2＝x﹣3．
（1）当两个一次函数的图象交于点 A（﹣1 , m）时，求点 A的坐标及 k的值；
（2）当 x＞﹣1时，对于 x的每一个值，一次函数 y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的值大于一次函数
y2＝x﹣3的值，结合图象，直接写出 k的取值范围．
23．如图，在 ABCD中，BC＝2AB，点 E、F分别是 BC、AD的中点，AE、BF交于点 O，连接 EF，
（1）求证：四边形 ABEF是菱形；
（2）连接 OC，若 AB＝8，∠ABC＝60°，求 OC的长．
4
24. 先观察下列等式，再回答问题：
1 1 1① 2 2 1 1
1
1 2 2
1 1 1 1 1 1②
22 32 2 3
③ 1 1 1 1 1 1 2 3 42 3 4
1 1
（1）根据上面等式提供的信息，请你写出式子 1 化简后的值： ；
42 52
（2）请你用含 n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律： （直接写出） ；
（3）对任何实数 a， a 表示不超过 a的最大整数，如 4 4， 3 1，请直接写出式子
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 1
1 1
2 2 ... 1
1 1
的值： ．
1 2 2 3 3 4 2024
2 20252
25. 如图，四边形 ABCD是正方形．过点 C在正方形 ABCD的外侧作射线 CN，∠DCN= （ 0 90 ）
作点 D关于射线 CN的对称点 E，线段 DE交射线 CN于点 M，连接 BE交直线 CN于点 F．
（1）当0 45 时，依题意补全图 1，并直接写出 EFN 的度数： ；
（2）在（1）的条件下，用等式表示线段 FB，FC，FE之间的数量关系，并证明；
（3）若 CF=2，FM=4，请直接写出线段 FB的长： ．
图 1 备用图
5
26. 已知点 E和图形 G，Q为图形 G上一点，若存在点 P，使得点 E为线段 PQ的中点（P，Q不重合），
则称点 P为图形 G关于点 E的双倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点 A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1），D（1，1）．
（1）若点 E的坐标为（﹣3，0），则在点 P1（﹣7，﹣1），P2（﹣5，2），P3（﹣6，1），P4（﹣4，0）
中，点 是四边形 ABCD关于点 E的双倍点；
（2）若点 N的坐标为（﹣3，t），点 P在第一、三象限的角平分线上，且点 P是四边形 ABCD关于点 N
的双倍点，求出 t的取值范围；
（3）点 M为四边形 ABCD边上的一个动点，直线 l平行于直线 AC，且与 x轴，y轴分别交于点 F，H，
其中点 F的坐标为（a，0），若线段 FH上存在四边形 ABCD关于 M的双倍点，直接写出 a的取值范围．
6北京交大附中 2024—2025 年度八年级第二学期期中练习
初二数学试卷答案及评分标准
一．选择题（每题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D D B A
二．填空题（每题 2 分，共 16 分）
9. x 3 10. y=-x+1（答案不唯一） 11.4． 12． 2 3 13. ±1
14．y＝2x-1 15. 4 16． 53； 27
三、解答题：解答题（本题共 60 分，第 17 题每小题 5 分，18-22，24题每题 5 分，第 23 题 6 分，第
25，26每题 7分）
17.【答案】
（1） 12 8 3 2 27
= 2 3 2 2 3 2 3 3 ………………………………………4分
= 2 2 3 2 5 3
=5 3 2 ………………………………………5分
2(2) 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
…………………………………………1 分
2 3 2
2
3 2 …………………………………………3 分
3 2 3 2
3 2 ………………………………………5分
18.解：（1）如图即为补全的图形；（每个步骤 1 分）…………………3 分
（2）证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形 ABCD是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），…………4 分
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形 ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．………………5 分
第 1页 共 6页
19.证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， ………………………1 分
∵∠AME＝∠CNF，∠CNF＝∠ANB，………………………2分
∴∠DMC＝∠ANB， ………………………3 分
∴DE∥BF， …………………………4 分
∴四边形 DEBF是平行四边形． …………………………5 分
20.解：（1）每千克种子的价格为 10 元………………………1 分
y 10x …………………………2分
（2）当 x 10kg 时，
由图象可知 y是 x的一次函数，且过点 A 10，100 ，B 20，160 ，
∴设 y kx b，
10k b 100
则
20k b 160
k 6
解得：
b 40
∴ y 6x 40 x 10 ；………………………………………4分
根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg，
令 y 6x 40 340 时， 解得： x 50 ………………………………………5 分
∴当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50kg 种子．
21.解：（1）证明：如图所示，连接 BD，
∵DE垂直平分 AB，
∴AD＝BD， …………………………1 分
∵AD2﹣DC2＝BC2，
∴BD2﹣DC2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形， …………………………2 分
∴∠C＝90°；
（2）解：设 AD＝BD＝x，则 CD＝AC﹣AD＝8﹣x，………………………3 分
在 Rt△BCD中，BD2﹣DC2＝BC2，
第 2页 共 6页
∴x2﹣（8﹣x）2＝42， ………………………4 分
解得 x＝5，
∴AD＝5． ………………………5 分
22.解：（1）∵两个一次函数的图象交于点（-1 , m）时，
∴点（-1 , m）在直线 y2＝x﹣3 上
∴m=-4 ……………………1
∴点 A 坐标为（-1 , -4） ……………………2分
又∵点（-1 , -4）在直线 y1＝kx+2 上
∴-k+2=-4 时，k＝6， ………………………3 分
（2）1≤k≤6． ………………………5 分
23.（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC， ……………………………1 分
∴AF∥BE，
∵点 E、F分别是 BC、AD的中点，
1
∴ AF AD,BE 1 BC,
2 2
∴AF＝BE，
∴四边形 ABEF是平行四边形， …………………………2分
∵BC＝2AB，且 BC＝2BE，
∴AB＝BE，
∴四边形 ABEF是菱形；…………………………………3 分
（2）如图，过点 O作 OH⊥BC于 H，
由（1）知，四边形 ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴ ABO 1 OBH 60 30 ，BO⊥AE，………………………4分
2
∵AB＝8，
1
∴ AO AB 4，
2
∴ BO AB2 AO2 4 3,
∴OH 1 BO 2 3 ， …………………………5 分
2
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∴ BH BO2 OH 2 (4 3)2 (2 3)2 6,
∵BC＝2AB＝2×8＝16，
HC＝BC﹣BH＝16﹣6＝10，
∴OC OH 2 CH 2 (2 3)2 102 4 7 ． ……………………………6 分
21
24.（1） ； ………………………… 1分
20
（2） 1 1 1 1 ………………………… 3 分1
n 2
1
（n 1）2 n n 1
1 1 1 1 1或 2 n （n 1）2 n（n 1）
（3）2024． ………………………… 5 分
25. （1）补全图形 1 分
四边形 ABCD是正方形，
CB CD, BCD 90 ，
由对称的性质可得CD CE, ECF DCF ，
CB CE, BCE BCD DCN ECN 90 2 ，
CEF CBF 180 BCE 45 ，
2
EFN 是△ECF 的一个外角，
EFN CEF ECF 45 ． ………………………… 2分
（2）FB FE 2FC， …………………………………3 分
证明：作CH CF，交 BE 与点 H，垂足为点C，如图，
FCD HCD 90 ，
四边形 ABCD是正方形，
CB CD, BCD 90 ，
BCH HCD 90 ，
FCD BCH，
由对称的性质可得CD CE, DCF ECF ，
第 4页 共 6页
BC CE, ECF BCH ，
CBH CEF ，
在△CEF 和 CBH中，
CEF CBH
CE CB ，
ECF BCH
CEF≌ CBH (ASA)，
FE HB, CFE CHB， 4 分
180 CFE 180 CHD，
即 CFH CHF ，
△FCH 是等腰直角三角形，
由勾股定理得 FH 2FC，
FB HB FH , FE HB，
FB FE 2FC． 5 分
注：不同方法酌情给分
（3）6 或 2 对一个得 1 分 7 分
26.（1）P1，P3 多选没分，对一个 1 分； 2 分
（2）方法一：
设直线 y＝x上的点的坐标为（a，a），四边形 ABCD上的点的坐标为（x，y），
则 ，
解得： ， 3 分
∵点（a，a）在直线 y＝x上，
∴y-x＝2t+6，
由 A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1），D（1，1）知﹣1≤y-x≤2，
∴﹣1≤2t+6≤2， 4 分
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7
≤ t ≤ -2 5 分
2
方法二：临界值法
做出平行四边形 ABCD的双倍点图形 A 'B 'C 'D '，
求出顶点坐标 A '( 5,2t 1);B '( 4,2t 1);C '( 6,2t 1);D '( 7,2t 1) 。
图形有关键作用的临界点是 A和 C。
当点 A '( 5,2t 1) 在直线 y x上时， 5 2t-1， t 2
当点C '( 6,2t 1) 在直线 y x上时， 6 2t+1 t
7
， 2
7
t 2 5 分
2
13 1 1 11
（3） a 或 a 对一个得 1 分 7 分2 2 2 2
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