三、学情分析
??? 刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。
六、效果评价
本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体、直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验探索过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。
八、教学反思
教学时，采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。
四 、教学过程设计
1.引入 思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000）
2.出示标题，学习目标
3.活动1 动手实践折出角平分线
问题1：请同学们拿出准备好的折纸，自己动手，裁剪出一个角，请快速你将手中的角分成两个相等的角，你有什么办法？
［整合点1］利用动态演示，启发学生建立数学模型
追问1：如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
追问2：你能说明理由吗，为什么射线OC会是∠AOB平分线？
设计意图：教材中，通过角平分仪平分角的原理，初步感知用尺规作已知角的平分线，并用全等三角形的知识解释.有利于学生直观观察和思考所出示的问题，为得出用尺规作已知角的方法做良好的铺垫。让学生运用全等三角形的知识解释尺规作已知角的工作原理，体会数学的应用价值，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.
活动2、感悟实践经验，用尺规作角的平分线
问题1：通过上述活动，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作方法，实在没有思路的同学可以根据提示来思考，寻找答案。
提示：
1、 已知、求作分别是什么？
2、 OM=ON,用尺规怎么画?
3、 CM=CN,用尺规怎么画?
通过同伴交流，请学生说出作图过程，一生板演。一生按所说步骤完成示范作图.
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
追问1：去掉“大于1/2 MN的长”这个条件行吗？
追问2：所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
总结：1．去掉“大于1/2 MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以D、E为圆心，大于1/2 MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部， 也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
设计意图：根据画图过程，从实验操作中获得启示，参与获取知识的发生发展过程，因为知其然，因而不是死记硬背作图过程，而是有感而发，印象深刻.
活动3、经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
［整合点2］利用多媒体直观优势，突破教学难点．
请同学们拿出课前我们裁剪好的角，刚才我们已经得到了一条折痕，也就是这个角的平分线，接下来把对折后的纸片继续折叠，折出一个直角三角形，而且使斜边在第一次的折痕上，
把纸片展开,并用笔描画出三条折痕（学生动手折叠、展开、描线），观察第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何位置关系？
追问1：它们的长度有何关系？
设计意图：培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫．
追问2：下面我们再进行演示，看看同学们得到的结论一定成立吗？
追问3：是因为点P的位置比较特殊吗？下面我们改变点P在OC上的位置，观察PD与PE还相等吗？
追问4：那是因为∠AOB的度数比较特殊吗？下面我们再来改变∠AOB的度数，观察PD与PE还相等吗？
追问5：PD与PE的长也就是什么？
追问6：由此，你能得到什么结论？
设计意图：通过动手实验、观察比较，特别是几何画板的动态演示，让学生去发现发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”.
追问7：要证明这个文字命题，我们首先要做什么？（写出已知和求证）
已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
追问8：要证明两条线段相等，你想到通过什么来证明?
追问9：你能把角的平分线的性质用符号语言来表述吗？
追问10：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
设计意图：让学生经历实践→猜想→证明→归纳的过程，体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力.而反思性质，在此活动中信息技术体现其不可替代性，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证。
活动4 、解决简单问题，巩固角的平分线的性质
［整合点3］多媒体的运用，促进了课堂教学方法与模式的变革．
活动5：应用新知 巩固练习1：判一判（判断对错，并说明理由）（1）如下左图，∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ，∴BD=CD ( )
（2）如上右图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．( )
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，
DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 （1）PE=_____cm.
（2）P点到OB的距离_____cm。
梦想成真 要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
例1 已知:如下右图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长
已知:如上左图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:BE=CF.
变式一：已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF
求证:AD是∠BAC的角平分线.
变式二：已知:如图,连接EF.在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求: AD与EF关系？
处理方法：教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，再鼓励学生通过实物投影展示自己的证明过程，教师点评一题多变及一题多解．
设计意图：本组例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动．让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形．同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力．两道变题同时展示，符合高效课堂要求．
巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC
∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE ＝AC A
E
C D b
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
活动6 归纳总结
学生小结：学生讨论，找几个学生总结。
教师小结：
本节课我们经历了探索---猜想---证明得出了用尺规作角的平分线的方法，角的平分线的性质即角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那反过来，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。.
设计意图：旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，并建立知识体系.
随堂练习1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=
则PE=____.
设计意图：通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。
活动8【作业】 实践延伸
必做题： 教材p30-3题
选做题：教材p30-4题及课堂所留两道便是思考题。
设计意图：设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成．选做题要求学生根据个人的实际情况尽力完成，使学有余力的学生得到提高，达到“不同的人得到不同的发展”的目的.
课件26张PPT。思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000） 角平分线第一课时学习目标
1、会用尺规作角平分线
2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。 你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）情境问题 1.什么是角平分线？怎样画角平分线？ ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同学甲、乙谁的画法是正确的?按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE、PF ，并度量所画PE、PF是否等长？CC议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D、E． 求证：PD=PE．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°
又∵OP=OP
∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)你能证明这个结论吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等。定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).图形语言∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）练习：判断1.∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等2.，2、如图,OC是∠AOB 的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则 （1）PE=_____cm.
（2）P点到OB的距离_____cm. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线 上．思考已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∴点P在∠AOB的角平分线上．判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内 部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).图形语言A这样，我们又可以得到一个结论： 梦想成真
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？
（比例尺 1：20 000）AB例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长. 小组合作完成。证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC DE ＝DF
∴AD平分∠BAC
又∵∠BAC=60°
∴∠BAD=30,
在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10
∴DE= ? AD= ? ×10=5 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:BE=CF. 证明：∵AD平分∠CAB
DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
DE=DF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF
求证:AD是∠BAC的角平分线. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠DEB=∠CFD=90°
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
BE=CF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等)
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴ 点D在∠A的角平分线上。即AD是它的角平分线
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求: AD与EF关系？
证明:∵AD平分∠CAB DE⊥AB，DF⊥AC
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
∠DAE=∠DAF
∵∠DEB=∠CFD=90°
∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线
∴AD垂直平分EF.(三线合一）
O巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC
∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE ＝AC
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长EDCBA1.用尺规作角平分线
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
3.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
回顾一下吧，本节课你学到了什么？1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=____.随堂练习==1结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.二、教材分析
本节课是北师大版教材《数学》八年级下册第一章第四节，内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用。是在七年级学习了角平分线的概念和学完证明三角形全等的基础上进行教学的。角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
七、观评记录
李老师：吴老师用幽默风趣的语言激发了学生学习角平分线的愿望，用折一折，剪一剪等方式感受角平分线的特点，一堂课课堂气氛活动，学生学习积极性高，学习效果好。
王老师：吴老师执教的课，很好的完成了教学目标，课堂上通过剪纸，识图调动了学生学习的积极性；课件制作精美，动态图的使用恰到好处。
刘老师：吴老师的这节课设计非常严谨，科学而有内涵，使学生在各环节中也学到了本节课的知识，解决了重难点。
高老师：本课环节紧凑，逐渐深入，引导学生体会的含义，加上丰富的动手实践活动，让学生在参与中学习，趣味十足。习题的选择达到既巩固知识，又培养学生美感的目的。
五、评测练习
1.4角平分线
一、选择题
1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，若 ∠ EFB=65°，则∠AED′等于 （ ）
A．70° B．65° C．50°D．25°
2．如图1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点
D，DE⊥AB于点E．若AB=6 cm，则DEB的周长为 （ ）
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
3．如图1—103所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为 （ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是 （ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、填空与解答题
5．补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE．使OD =OE；②分别以D，E为圆心，以 为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；③连接OC．则OC即为∠AOB的平分线．
6．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．
7．如图1—106所示，AD 为ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，
EF交AD于点M，求证AM⊥EF．
8．如图1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？?如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．（简要说明作图过程即可）
9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m．根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l—108上找到古城的遗址（比例尺为1：100000）．
10．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m，40 m，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
一、课标分析
1、能用尺规作已知角的平分线。
2、探索并证明角的平分线的性质定理，会利用角平分线的性质进行证明和计算。
3、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
4、体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验
教学重、难点
依据新课标要求、教材内容特点、学生实际情况确定本节的教学重点为掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用，难点是角平分线的性质的探究。
