2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市高二下学期期中调研考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市高二下学期期中调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.从名教师中挑选人，分别担任两个班的班主任，有种不同的安排方案．
A. B. C. D.
3.盒子中有形状、大小完全相同的个红球和个白球，现无放回地依次从中取出一个球若第一次取出红球记为事件，第二次取出红球记为事件，则．
A. B. C. D.
4.设为实数，如果随机变量的分布列为，那么．
A. B. C. D.
5.是空间的一个单位正交基底，，，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，若，则实数，，的值分别为．
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6.某大学一宿舍名同学参加研究生招生考试，其中两人顺利被录取，还有两人需要调剂，这两名学生准备分别从，，，，，这所大学中任选三所大学申请调剂，那么他们各自所选择的三所大学中恰好只有一所大学相同的概率为．
A. B. C. D.
7.已知为平行四边形所在平面外一点，为线段上的点，且，点在线段上，且若，，，四点共面，则实数的值为．
A. B. C. D.
8.现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率已知某地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于排列数和组合数，下列结论中正确的有．
A. B.
C. D.
10.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的详解九章算法而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字在第二行写下两个，和第一行的形成三角形随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是，其他每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和那么下列说法中正确的有．
A. 第行从左至右的第个数与第个数的比为
B. 在第行中，第个数与第个数最大
C. 从杨辉三角形第行随机取一个数，该数大于的概率为
D. 记第行的第个数为，则
11.在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点满足，则下列说法正确的有．
A. 若平面，则
B. 若平面，则点的轨迹长度为
C. 若，则与所成角的余弦值的取值范围是
D. 若，时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的概率分布为
设，则 ．
13.平行六面体中，，点是棱的中点，，，，则实数的值为 ．
14.设，对于有序数组，记为其中包含的不同整数的个数如，，，当取遍个有序数组时，的总和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若．
求的值
求的值计算结果可保留指数幂的形式
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，与相交于点．
求点到平面的距离
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某科技展览会上，展示了编号为至的种型号的无人机学校为鼓励学生参与创新，购买了每种型号的无人机各一架供学生实验操作．
同学从架无人机中任选两架，且这两架无人机编号的数字之和为偶数，同学有多少种选择
将买回的架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，甲组分得架，乙组分得架，丙组分得架共有多少种分配方法
将买回的架无人机全部分给甲乙丙三个小组进行实验，每组至少分得两架，一共有多少种分配方法
注：要写出算式，结果用数字表示
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为中点．
求证：平面
求直线与所成角的余弦值
求二面角的正弦值．
19.本小题分
在一个三角形迷宫中，有个房间，有公共边的两个房间为相邻房间探险者每次会等概率地选择一个相邻的房间移动过去如从算一次移动，从算两次移动．
探险者从房间出发，次移动后在房间，并且必须经过房间求所有可能的移动路径数量
探险者需要将个宝藏分别放置在不同的房间中，为了确保宝藏安全，要求这个房间不相邻求随机选择个房间放置宝藏时，满足安全条件的概率
探险者从房间出发，目标是到房间用表示探险者到房间时移动的次数，求．
参考答案
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15.解：
令，得，
令，得，
．
16.解：由平面，且、平面，
得，，
又底面为正方形，，、、两两垂直，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的一个法向量为，
则．
令，，，
点到平面的距离
，，则，
，，
直线与平面所成角的正弦值为
17.解：同学有种选择；
共有种分配方法；
将种零件分给甲乙丙三组，每组至少种，
需要满足，且，，，
所以可能的整数划分为：第一类为分配方法数为：，
第二类为分配方法数为：，
根据分类加法计数原理共有：
18.证明：连接，，
是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，设，
，，
等腰梯形中，，，，四边形为平行四边形，
，，，中，，，
又，，，平面，
平面；
取中点，连接，则，以为正交基底建立空间面直角坐标系．
设，则，，，，，，
，
所以，，
故直线与所成角的余弦值为；
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，则，，
设平面的一个法向量为，
由，得
取，则，，
，，
二面角的平面角的正弦值为．
19.解：探险者从房间出发，次移动后到达房间，且必须经过房间，
可能的移动路径为，，
，，
，，共种．
将个宝藏放置在不同的房间，任取两个房间相邻有种情况，
这两个房间不相邻的概率为；
设探险者经过次移动后到达房间的概率为，
探险者从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间，，之一，
探险者从房间或经过两次移动到达房间的概率均为，
探险者从房间经过两次移动到达房间的概率为，
，
又，，，

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