2024-2025学年四川省绵阳市三台县高二下学期期中教学质量调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省三台县高二下学期期中教学质量调研测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若，，三个数成等差数列，则
A. B. C. D.
2.一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度单位：为，则汽车在第时的瞬时加速度为
A. B. C. D.
3.等比数列的前项和为，若，，则等于
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是为
A. 函数的极大值可以小于该函数的极小值
B. 函数的增区间为
C. 若函数的导数，则函数在处取得极值
D. 若函数的极小值点为
5.如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动转动角度不超过
时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数这个函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值是( )
A. B. C. D.
7.将一个边长为单位：的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为
A. B. C. D.
8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”比如取正整数，根据上述运算法则得出递推关系如下：数列满足，，若，则所有可能的取值集合是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有
A.
B. 当时，数列的公差为
C. 当时，是数列中的项
D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、
11.已知函数则下列说法正确的是
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的单调增区间为，
C. 函数的极大值为，函数的极小值为
D. 方程恰有个解时实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.已知数列的前项和为，若，且，则__________．
14.已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知在处取得极小值．
求实数的值；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
某工厂去年月试生产新工艺消毒剂升，产品合格率为从今年月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年月按去年月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加．
求今年月到月该消毒剂的总产量；
从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在升以内不含升？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量月产量月产品合格率
参考数据：，，，
18.本小题分
已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足．
求证：是等比数列；
求的通项公式；
设，求数列的前项和为．
19.本小题分
已知函数．
当时，求证；
讨论的单调性；
讨论零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，，即，
又，，成等比数列，
，不妨设公差为，
则．
或舍，
．
，
．

16.解：，
，，
检验：时，
，
则在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
处取得极小值，．
，
或，
减 极小值 增
，，
，．
17.解：设今年第个月生产了升消毒剂，则，
，
今年月到月该消毒剂的产量是等比数列，公比为，
从而所求年产量为：升．
故今年消毒剂的年产量约为升．
设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，
由题意，月产品不合格率为：，
则：，，
升，
则，
由，得到，
故当时，，即此时数列为递增数列
当时，，即此时数列为递减数列，
而
，
故从第个月起，不合格的量将始终小于升．
故从第个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在升以内．
18.解：由题意知：，
故是首项为，公比为的等比数列
因为
当时，
两式相减，可得，
所以，可得，
经检验：也满足上式，
又因为，，，，
累乘得，
所以；
由知是首项为，公比为的等比数列，
则，故
所以，
则，
，
得：，

19.解：函数的定义域为，
求导得，
当时，，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数最小值为，则有
由知，
显然时，，此时函数在上单调递减
若，则时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增
综上：时，在上单调递减
时，在上单调递减，在上单调递增
由知，当时，恒成立，即函数在上单调递减，显然，
当时，，则，，
令函数，，求导得，函数在上单调递增，
于是，即，则，
从而，
显然函数在上单调递减，
取，，
则当时，，因此函数在上有唯一零点
由知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由知函数只有一个零点
当时，，函数没有零点
当时，，，
因此在上有一个零点，
设，
则，
令函数，，求导得，函数在上单调递增，，
则，因此函数在上有一个零点，从而有两个零点．
综上所述：当或时，有一个零点
当时，有两个零点
当时，没有零点
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