2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳部分校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳部分校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4.设，随机变量的分布列如表所示，则

A. 有最大值，最小值 B. 有最大值，最小值
C. 有最大值，无最小值 D. 无最大值，有最小值
5.甲乙丙丁名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，人的名次排列的情形有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“”视频，“”视频占有率为某团队决定用对抗，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“”；它的误报率是，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“”已知某个视频被鉴定为“”，则该视频是“”合成的可能性为
A. B. C. D.
8.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是
A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两相互独立
C. D.
11.已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递增
C. 函数存在极小值点
D. “”是“”的充要条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ．
13.若函数有最小值，则实数的取值范围是 ．
14.甲、乙两人分别从个不同的数中随机选择若干个数可以不选，分别构成集合，，记中元素的个数为，则的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，南通马拉松在南通大剧院和美术馆东侧鸣枪开跑，经过角逐，中国选手杨俊婷以小时分秒获得半程马拉松女子组冠军，选手张德成以小时分秒获得马拉松男子组亚军。为了解本地区市民对跑步运动的喜爱情况，随机调查了部分市民，其中女性市民占，女性市民中有的人喜爱跑步，男性市民中有的人喜爱跑步．
在被调查的市民中任选一人，求此人喜爱跑步概率；
用频率估计概率，从本地区的所有市民中随机抽取人，设抽取的人中喜爱跑步的人数为，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知．
若的展开式中第项与第项的二项式系数之比为
求的值；
若，求的值；
若时，函数的极大值点为，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若在处的瞬时变化率为，求实数的值；
在的条件下，求在区间上的最值；
若，对于曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线和它垂直，求实数的取值范围．
18.本小题分
为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传统文化”知识竞赛各班竞赛形式多样，其中高二两班竞赛规则最具代表性，请完成以下两题：
高二班班委会设置如下竞赛规则：从道题中任选题作答，题均答对就获得“传统文化小达人”的称号已知道题中同学甲能答对其中的道题，求甲在已经答对一题的前提下，没有获得“传统文化小达人”称号的概率；
高二班班委会采取的竞赛规则：共设置道题，参加比赛的同学从第题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若道题全部答对，就获得一个小礼品已知同学乙答对每道题的概率为．
当时，设乙答题结束时，答题的个数为，随机变量的分布列及数学期望；
设乙答题结束时，答对题目的个数为，求使得成立的的最小值参考数据：，
19.本小题分
函数．
若，求的单调区间；
若，函数，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
若有三个不同的极值点，证明．
参考答案
1.
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13.
14.
15.设此人喜爱跑步为事件，
则，
所以此人喜爱跑步概率为．
由知，每位市民喜爱跑步的概率为，
的取值为：，，，，
，
，
，
，
因为，所以．
16.解：由题意得：，
化简得，解得．
所以的值为．
因为，
两边同时求导得：，
令，则．
当时，，
则，令，得，，
当时，，无极值，舍，
当时，在上递减，上递增，
则为极小值点，舍，
当时，在上递增，上递减，
则为极大值点，符合，
所以实数的取值范围为
17.解：由，
因为在处的瞬时变化率为，
所以则．
由可知，，则，，
因为，所以，即，
所以在单调递减，
则，．
时，，则，
，
则，
所以曲线上的任意一点处的切线斜率为，
曲线上的任意一点处的切线斜率为，
因曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线和它垂直，
所以，，，即，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数的值域是，函数的值域是，
所以解得，即或，
所以实数的取值范围是
18.设事件为甲已经答对一题，事件没有获得“传统文化小达人”称号，
则，，
所以
当时，，，，
，
，
，
因为，，，
所以
因为，所以，则，
所以，
所以使得成立的的最小值为．
19.定义域为，，
时，，
时，，，则，
又，则，即，时，，，则，，即，
所以的减区间为，增区间
若，，则，
方程可化为，令，则，
因为，所以在上单调递增，所以，
要使得方程有两个不相等的实数根，则方程有两个不相等的实数根，
令，则，
时，，所以在上单调递减，所以至多有一个实数根，不合题意，
时，在上单调递减，在上单调递增，要使得方程有两个不相等的实数根，
则，解得，
当时，，因为，，所以在上有且只有一个零点，
因为，，
又，，
递增，，
又，所以在上有且只有一个零点，
所以当时，方程有两个不相等的实数根，所以实数的取值范围为
因为，若是方程的根，则也是方程的根，且，，
因为有三个不同的极值点所以，，
要证，只需证，
令．
又，则．
所以．
因为，．
．
即．
因为，所以，即在上单调递减又因为，所以在上恒成立．
即在上恒成立证得恒成立，即
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