2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京师大附中高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.已知正八边形的边长为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在上的投影向量为
B. 当时，
C. 的最小值为
D. 的最大值为
11.在中，内角，，所对应的边分别为，，，已知，且，，为连续正整数，则( )
A. 存在唯一的，使得 B. 存在无数个，使得
C. 存在唯一的，使得 D. 不存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，为的中点，为的中点若，则的值为______．
13.若是第一象限角，且，则的值为______．
14.设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为实数，已知复数．
若对应的点在第一象限，求的取值范围；
若为实数，且与复数相等，求的值．
16.本小题分
在中，已知，，和的夹角为，且．
若为的中点，求；
已知，若，求实数的值．
17.本小题分
已知向量，，函数．
若，求的最小值；
若，，求的值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知．
若，求；
求的取值范围；
设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
19.本小题分
正弦型函数被广泛运用于信号处理领域不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域如音频处理、图像处理、通信系统等中发挥着关键作用．
已知函数，，．
求的值；
设函数，求的值域；
本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
判断函数的零点个数，并说明理由；
判断函数的零点个数，并说明理由．
注：选择解答的总分比选择解答的总分少分
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：为实数，已知复数．
对应的点在第一象限，
可得，解得，
故的取值范围为；
为实数，且与复数相等，
可得，解得或．
故或．
16.解：中，已知，，和的夹角为，且．
则，
又为的中点，
则
；
已知，
则
，
又，
则，
即．
17.解：由题意，
，
因为，所以，
因此当，即时，
取得最小值；
因为，所以，即，
因为，所以，
若，则，不合题意，
所以，故，
所以，
则．
18.解：因为，
所以，即，
由正弦定理得，，
若，则，所以，
故．
由知，
由余弦定理知，，
所以，
由正弦定理知，
而，
所以，
因为，，所以，即，
由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是．
由，，知，，
所以
．
19.解：因为，
所以；
因为，
所以，
令，则，
即，
所以值域为；
选择：的零点个数为，理由如下：
，
因为，，
所以
，
因此
．
又的，
所以，
令，
则，
又，
所以的零点为，
即的零点个数为；
选择，的零点个数为，理由如下：
因为，
故只要关注时，的零点个数，
根据和差化积公式可得，
，
由，得，
即，
故时，恒大于零，即无零点，
根据对称性得时恒小于零，即无零点，
当时，，
综上所述，在上有且仅有唯一的零点，
所以的零点个数为．
第1页，共1页