2024-2025学年福建省莆田市擢英中学高一（下）4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田市擢英中学高一（下）4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，满足，则．
A. B. C. D.
3.在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则( )
A. B. C. D.
4.已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.已知函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则或
C. 若，则
D. 若，，与向量夹角为钝角，则取值范围为
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
11.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则符合条件的有两个
C. 若为锐角三角形，且，则
D. 若是钝角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知是纯虚数，是实数，那么 ______．
13.设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
14.目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高，该同学眼高眼睛到地面的距离，该同学在初始位置处眼睛所在位置测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为求出山高 ______结果保留整数；如图，当该同学面向基站前行时保持在同一铅垂面内，记该同学所在位置处眼睛所在位置到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为试问当 ______时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，设函数．
写出函数的对称中心；
若求函数的最值及对应的的值；
，若为奇函数，求的值．
16.本小题分
如图，在边长为的菱形中．
求；
若为对角线上一动点连结并延长，交于点，连结，设当为何值时，可使最小，并求出的最小值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且，
求；
若的面积为，
已知为的中点，且，求底边上中线的长；
求内角的角平分线长的最大值．
18.本小题分
已知平面四边形如图所示，其中，，．
若，，点为线段的中点，求的值；
若，求的值．
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．
试求解下列问题：
已知向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意可得，向量，，
，
令，解得，
所以函数的对称中心为；
由时，，
由正弦函数的单调性可知，
则当时，即时，取得最大值，
当时，即时，取得最小值；
由题意可得为奇函数，
则，解得，
又，当时，，
当时，．
16.解：在菱形中，易知，，
所以
；
在菱形中，，易知∽，
由，可得，
又，，
所以
，
所以当时，取得最小值为．
17.解：的内角，，的对边为，，，且，
由正弦定理，得，即，
故，
所以，
所以；
由知，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以；
因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于，所以，
由于，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，
故．
18.解：依题意，，，
故为等边三角形，
则，，，
因为，
由余弦定理，，解得；
设，则，在中，，
在中，，
由正弦定理，，即，
解得，
则．
19.解：由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
设，则，，
所以，
从而，
所以，
又，
所以；
由可得：，
因为
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值的最小值是．
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