2024-2025学年湖北省部分高中高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省部分高中高二下学期4月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少人，不同的报名方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.设，若为函数的极小值点，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙、丙、丁、戊人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法
B. 名男生和名女生站成一排，则名男生相邻的排法共有种
C. 名男生和名女生站成一排，则名男生互不相邻的排法共有种
D. 名男生和名女生站成一排，名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种
11.已知定义在上的函数满足，且当时，若在上恒成立，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在点处的切线方程为，则 ．
13.已知，的二项式系数的最大值分别为，，若，则正整数 ．
14.已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从装有个红球、个白球、个黑球的袋中任取个球，求：
恰好取到个红球的概率
至少取到个红球的概率．
16.本小题分
已知函数，且．
求的解析式
求函数的单调区间．
17.本小题分
在的展开式中，
求有理项的个数
系数最大的项是第几项
18.本小题分
已知函数
当时，求在点处的切线方程
若对，都有恒成立，求的取值范围
已知，若存在，使得，求证：．
19.本小题分
已知函数，其中．
若是偶函数，求
当时，讨论函数在上的零点个数
若对，，求的取值范围．
注：记，，可用含的表达式表示
参考答案
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14.
15.解：袋中装有个红球、个白球、个黑球，现从中任取个球．
恰好取到个红球的概率为：．
至少有一个红球的方法种数为：

16.对求导，
得，
将代入，由，
有：化简得，
解得，
将代入，得；
的定义域为，
求导得，
令，即，
解得，
当时，，，
在上单调递增
当时，，，
在上单调递减，
综上，的单调递增区间为，
单调递减区间为
17.解：展开式的通项：
，，
令，
，，，，
展开式中有理项共有项．
设第项的系数最大，
则，解得，
故系数最大的项为第项和第项．
18.解：当时，函数，
将代入，得，
，，
可得切线方程为，整理得．
已知在上恒成立，移项可得，
因为，所以，两边同时除以，得到在上恒成立，
令，，对求导：得．
令，即，则，解得，
当时，，单调递增当时，，单调递减，
，，
比较和的大小：，因为，所以，
即，所以，即的取值范围是。
当时，，，
由可知，在上，单调递减
在上，单调递增．
因为且，不妨设，
要证，即证，因为，且在单调递增，
所以只需证，
又因为，所以只需证，
令，，
，
因为，所以，在上单调递减，
则，
即在上成立，
所以，从而得证．
19.解：因为函数是偶函数，所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
因此，解得，而，所以．
因为，所以，
因此函数在上的零点个数等于函数与函数图象在上的交点个数．
作函数与函数图象在上的图象如下：
由图象知：函数与函数图象在上的交点数为，
因此函数在上的零点个数为．
因为，所以．
令，则，因此函数是增函数．
因为，所以．
当时，，而，因此，
所以：当时，，因此由知：，不成立，所以；
当时，，因此由函数与函数在上的图象知：，恒成立，
所以为所求．
当时，则．
因为，而函数是增函数，所以存在唯一，使得，
因此当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的最小值为，
所以要，成立，则对恒成立，
即对恒成立，解得，即对恒成立．
因为，，所以．
因为，，所以，因此由和得，
所以对恒成立等价于：对恒成立，因此．
综上所述，的取值范围是．
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