2024-2025学年山西省青桐鸣高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省青桐鸣高一下学期4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则与( )
A. 互为相等向量 B. 互为相反向量 C. 相互垂直 D. 均为零向量
3.设外接圆的半径为，若，则为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
4.在平面直角坐标系中，已知存在正数，使得平行四边形满足，，则平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位是一元二次方程的一个复数根，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知两个非零向量，的夹角为，非零向量与的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
8.已知一种长方体礼物盒的长、宽、高之比为，现有如图两种方式包装该礼物盒，方式中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的四等分点，方式中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点不计打结处的额外消耗，则使用方式与使用方式所需的包装绳长之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为真命题的有( )
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C. 棱柱的侧面都是菱形
D. 四面体是棱锥
10.设复数满足，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的定义域是
B. 是奇函数
C. 是的一个周期
D. 是曲线的一个对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数为虚数单位的实部为 ．
13.函数的值域为 ．
14.已知的内角，，所对的边分别是，，，已知，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的定义域
研究函数的单调性
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知复数，，，为虚数单位，为的共轭复数．
若，求复数
证明：
设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值．
17.本小题分
伊丽莎白圈是小动物戴在颈上防止它们抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其可看作圆台的侧面围成的物体某个伊丽莎白圈的母线长为分米，所缺失的上、下底面的半径分别为分米、分米结果均用含的最简式表示
若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表面全部涂层不含外侧表面，每平方分米需要消耗克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处的误差，则该伊丽莎白圈需要消耗多少克涂层材料
若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积．
18.本小题分
如图，在正方体中，，，分别为棱，，上分别靠近，，的三等分点，为棱的中点．
设平面，平面，平面，证明：，，三点共线
证明：平面．
19.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
若为直角，求
若为锐角三角形，证明：．
参考答案
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15.解：由对数函数的定义可知，
解得或，
故的定义域为
设，则在上单调递增，
又函数的定义域为，
当时，随的增大而减小，所以在上单调递减
当时，随的增大而增大，所以在上单调递增．
综上，在上单调递减，在上单调递增．
由知在上单调递增，
因为，要使，
则，即或，解得或，
故的取值范围为
16.解：由题意可得，
故，
则，即，
故；
证明：易得，
又，
故；
易得在复平面上对应的向量为，
在复平面上对应的向量为，
所以，
故，
又，
故．
17.解：由题意得，该伊丽莎白圈需要涂层的面积等价于圆台的侧面积，
圆台的侧面积平方分米，
因为每平方分米需要消耗克涂层材料，
所以克，即该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料克
该伊丽莎白圈的高为分米，
则立方分米，
则形成的圆台的体积为立方分米．
18.证明：因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以在平面与平面的交线上，
同理可得点，也在平面与平面的交线上，
因为平面与平面不重合且不平行，所以平面与平面的交线唯一，
所以，，三点共线．
因为，分别是棱，上分别靠近，的三等分点，是棱的中点，
所以，故，
故，又，
所以，所以H.
因为平面，平面，所以平面．
19.解：因为为直角，故，
即，解得负值舍去．
证明：由余弦定理可得，即，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立．
由于，故A．
又是锐角三角形，故且，
故，且，解得，
，
因为，故A，
综上，．
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