2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高一年级下期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高一年级下期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，复数为虚数单位为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，得到的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.，，是三个平面向量，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知三个角，，所对的边分别为，，，向量与满足，且，则边上的中线长为( )
A. B. C. D.
5.公元前世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，边上一点满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对于任意的，，函数满足，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的个位数字为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，设，，则下列说法正确的是( )
A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则
C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则，
10.已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则在上的值域为
C. 的取值范围为
D. 函数在上单调递增
11.设的内角，，的对边分别为，，，下列能判断为钝角三角形的有( )
A. B.
C. ，， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.写出函数的图象的一个对称中心： 任写一个即可
13.已知，，平面上的任意一点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则的最小值为 ．
14.已知函数，若方程在上有个解，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在 中，，，，设，，，．
用，表示，，并求
已知点在线段上，且，若，求的值．
16.本小题分
已知的角，，所对的边分别为，，，且．
求
如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为，且．
若，求函数的单调递增区间
若，，，且的最小值为，当时，方程有四个不等的实数解，求实数的取值范围．
18.本小题分
巴张高速公路巴东至张家界于年月开工，计划于年正式建成该高速公路在巴东县内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥以下简称二桥，目前二桥的起点和终点已经确定如图所示，设二桥起点为，终点为，为了测量二桥的长度南北走向，小明同学选择了长江南岸的，两个观测点，，相距千米在处测得二桥北岸位于其北偏东的方向，二桥南岸位于其南偏东的方向，观测点位于其南偏东的方向在观测点处测得南岸位于其北偏东的方向，北岸位于其北偏东的方向．
求二桥的长度．
为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域进行改造如图所示，点，在弧上，点，分别在，上，，且四边形为矩形拟将矩形所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值
19.本小题分
对于定义在上的函数，若存在实数，使得为偶函数，则称函数为型函数若存在实数，使得为奇函数，则称函数为型函数．
已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称证明：为型函数．
已知函数，，且为型函数．
(ⅰ)证明：．
(ⅱ)若，，，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案符合，即可
13.
14.
15.解：因为，，所以，
所以．
，
因为，
所以，
因为，所以存在非零实数，使得，
所以，
所以，解得，，所以．
16.解：由，得．
由正弦定理可得，，
所以，
则，即．
因为，所以，因为，所以
设，则等腰三角形的面积可表示为．
在中，由余弦定理得，
由结合知为等边三角形，得，
则四边形的面积，
当时，取得最大值．
17.解：由得，则．
因为，所以，即
因为，所以，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，
因为，
所以，
则，，，，
解得，，，，
则，，，，
所以，即，
所以，
因为，所以，
当时，每个均有两个值与之对应，
设，，
方程化为，
方程有个不等实根，
等价于有两个不同的零点，，且，．
因为，所以在上有两个不同零点或在上有两个不同零点，
当在上有两个不同的零点时，
解得．
当在上有两个不同的零点时，
此不等式无解．
综上所述，的取值范围为
18.解：根据题干条件可知在中，，，，，
由正弦定理可得，，解得．
在中，，，，
由正弦定理可得，解得．
在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以二桥的长度是千米．
由知扇形所在区域半径，圆心角，
如图所示，取的中点，连接交于点，连接．
设，根据对称性可知，
在中，，，．
在中，由，，可得，
所以，
则矩形的面积
，
当时，等号成立，
故公园面积的最大值为平方千米．

19.证明：若的图象关于直线对称，则，
即，故为偶函数，
即为型函数．
证明：设，
则为奇函数，所以在上恒成立．
，
所以在上恒成立，
则，即，
因为，所以．
由知，，
则不等式化为，
所以
．
令，则，
，
当时，取得最小值，所以．
故的取值范围为
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