第1-3章阶段测试卷（含解析）
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第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
C．直角三角形的两个锐角互余
D．全等三角形的面积相等
3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，可由平移得到的三角形有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
8．如图，将沿射线BC的方向平移，得到，再将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D．下列结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，和关于点O成中心对称，则根据中心对称的性质可得 ．
11．如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对．
12．如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米．
13．如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是、，则的长度是 ．
14．如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为 ．
15．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 ．
16．某市为提高政务服务中心窗口服务质量，经过一段时间的观察，早上开始平均每天有个人在窗口等候，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放3个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放5个售票窗口，需要15分钟恰好不出现排队现象．为减少旅客排队购票时间，车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
三、解答题
17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．如图是一块地，已知，求这块地的面积．
19．如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
20．某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表：
型 型
价格（万元/台） 24 20
产量（吨/月） 720 540
(1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）；
(2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
21．按下列条件，分别画一个与已知成中心对称的三角形：
(1)在图①中以顶点C为对称中心；
(2)在图②中以的中点M为对称中心；
(3)在图③中以内的点P为对称中心．
22．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A．
(1)求k，b的值和点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出时x的取值范围；
(3)求的面积．
23．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且），例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
(1)若点P的坐标为，则它的“2阶派生点”的坐标为______；
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于y轴上，求点的坐标．
24．在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小郑认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”是正确的，为了证明这个命题的正确性，他画出了如图1所示的图形．
(1)请你根据小郑画的图形，写出已知和求证，并完成证明；
(2)如图2，小郑取了一张长方形纸片，且，沿过点G的折痕将翻折，使得点F落在上的点处，折痕交于点M，则的度数为______；
(3)小郑在（2）的基础上，想把分成三个全等的小三角形，如何分？请说出方法．
《第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D A D D B D A A
1．C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，关键掌握当三角形中三边的关系为：时，三角形为直角三角形．
根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】解：A、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为，故能构成直角三角形，符合题意；
D、因为，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A.有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两腰相等，正确，为真命题，不符合题意；
B.到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C.直角三角形的两个锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D.全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
故选D．
3．A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：，选项A一定成立；
，故，，故选项B错误；
，故选项C错误；
，，故选项D错误；
故选A．
4．D
【分析】根据，垂直平分，平分推得，代入即可得到．
【详解】解：，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
中，，
，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理．
5．D
【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集．一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．再结合选项进行判定即可．
【详解】解：在数轴上表示右侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质解答即可．
【详解】解：平移不改变图形的形状、大小、方向，
可由平移得到的三角形有个，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴，即，
∴，故A选项错误，不符合题意；
B． ∵，，
∴，故B选项错误，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
8．A
【分析】本题主要考查了平移的性质、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解题的关键．
根据图形平移和旋转的性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．仅根据已知的平移和旋转条件，无法得出 ，故不一定正确，该选项符合题意；
B．因为沿射线方向平移得到 ，根据平移的性质，对应点所连的线段相等，所以与，与是对应点，， 该选项结论说法正确，不符合题意；
C．由于先平移再旋转得到 ，旋转前后对应角相等，与是对应角，所以 ，该选项结论正确，不符合题意；
D．由旋转的性质可知，旋转前后对应线段相等，与是对应线段，所以 ，该选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
9．A
【分析】本题考查勾股定理，坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质等知识，观察图象可知，点的位置是个点一个循环， 即得与的位置都在第一象限，且在直线上，可得点的纵坐标为，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得第个等腰直角三角形的边长，即可得点的横坐标为，进而即可求解，掌握坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：观察图形可知，点的位置是个点一个循环，
∴与的位置都在第一象限，且在直线上，
∴点的纵坐标为，
∵第一个等腰直角三角形的直角边，
第二个等腰直角三角形的边长，
第三个等腰直角三角形的边长，
，
∴第个等腰直角三角形的边长，
∴第个等腰直角三角形的边长，
∴点的横坐标为，
∴的坐标为，
故选：．
10．；点共线，点共线，点共线
【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可．
【详解】解：∵和关于点O成中心对称，
∴；点共线，点共线，点共线，
故答案为：；点共线，点共线，点共线．
11．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即有4对全等三角形，
故答案为：4．
12．104
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质可得，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为的长加上的长，即可得出结果．
【详解】解：由图可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米；
故答案为：104．
13．
【分析】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明平分
过P作于N，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度．
【详解】解：过P作于N，
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、P在这把直尺上的刻度读数分别是、，
，
的长度是
故答案为：．
14．
【分析】首先根据旋转的定义和已知条件确定旋转角为，然后由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
，
连接，如图所示：
由旋转图形的性质可知，，旋转角，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及旋转的性质、直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证明是本题的关键．
15．
【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为；
故答案为：
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
16．9
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用．设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，根据题意列方程组得到n与x及y与x的关系式，进而可得8分钟后不排队的现象，可得不等式解决问题．
【详解】解：设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，由题意得
，
解得，
∵要使8分钟内不出现排队现象，则，
∵，
∴将代入，得，
∵m是正整数，
∴m的最小值为9，
∴车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放9个售票窗口，
故答案为：9．
17．，数轴表示见解析
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，把解集表示在数轴上；分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
则不等式组的解集为：；
在数轴上表示如下：
18．这块地的面积为
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．
根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积．
【详解】解：连接，
因为，所以在中，由勾股定理得：
，
，
又，
在中，，
是直角三角形，
，
．
答：这块地的面积为．
19．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据题意，证明即可求解．
【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
20．(1)有5种购买方案；
(2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用．
（1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
（2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台，
根据题意，得，解得，
因为每一种新设备至少买1台，
所以，2，3，4，5，
所以有5种购买方案；
（2）解：根据题意，得，
解得，
则x为4或5，
当时，购买资金为(万元)，
当时，购买资金为 (万元)，
因为，
所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了中心对称作图的知识；根据中心对称的性质得到各顶点的对称点是解决问题的关键．
（1）延长分别到点，使，连接即可．
（2）连接，并延长至点，使，连接即可．
（3）连接，分别延长至点，使，，，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求的三角形．
（2）解：如图所示：即为所求的三角形．
（3）解：如图所示：即为所求的三角形．
22．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据三角形面积公式即可得出答案
【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，
，，
，，
两函数解析式联立，得，
解得：，
；
（2）观察图象，时x的取值范围是．
（3），，，
，点到轴的距离为，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论；
（2）根据派生点的定义，结合点的坐标列出二元一次方程组，计算后即可得出结论；
（3）先根据点的平移特点得出点的坐标为，再由派生点的定义和点的“阶派生点”位于坐标轴上，在轴上，则横坐标为0，求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为
即：；
∴点的“3阶派生点”的坐标为．
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：即
点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
24．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是折叠的性质、等边三角形的性质与判定等知识，
（1）根据题意先写出已知和求证，延长到点D，使，连接，证明是等边三角形即可证明结论；
（2）由（1）知，再根据平行线的性质及折叠性质求出结论；
（3）折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形
【详解】（1）已知：在中，，；
求证：；
证明：延长到点D，使，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
是等边三角形
∴，
∴；
（2）解：由折叠得：，
在长方形中，，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形．
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第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上
C．直角三角形的两个锐角互余
D．全等三角形的面积相等
3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，可由平移得到的三角形有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
8．如图，将沿射线BC的方向平移，得到，再将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D．下列结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，和关于点O成中心对称，则根据中心对称的性质可得 ．
11．如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对．
12．如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米．
13．如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是、，则的长度是 ．
14．如图，四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到．若，，则四边形的对角线的长为 ．
15．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 ．
16．某市为提高政务服务中心窗口服务质量，经过一段时间的观察，早上开始平均每天有个人在窗口等候，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放3个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放5个售票窗口，需要15分钟恰好不出现排队现象．为减少旅客排队购票时间，车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
三、解答题
17．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．如图是一块地，已知，求这块地的面积．
19．如图，是等腰直角三角形，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
20．某公司为了节约能源，决定购买节能性能更好的10台新设备．现有、两种型号的新设备供选择，其中每台的价格、产量如下表：
型 型
价格（万元/台） 24 20
产量（吨/月） 720 540
(1)经预算：该公司购买节能新设备的总资金不超过220万元，请求出有几种购买方案（每一种新设备至少买1台）；
(2)在（1）的条件下，若要求每月产量不低于6120吨，请你设计一种最省钱的购买方案．
21．按下列条件，分别画一个与已知成中心对称的三角形：
(1)在图①中以顶点C为对称中心；
(2)在图②中以的中点M为对称中心；
(3)在图③中以内的点P为对称中心．
22．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A．
(1)求k，b的值和点A的坐标；
(2)结合图象，直接写出时x的取值范围；
(3)求的面积．
23．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且），例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
(1)若点P的坐标为，则它的“2阶派生点”的坐标为______；
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶派生点”位于y轴上，求点的坐标．
24．在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小郑认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”是正确的，为了证明这个命题的正确性，他画出了如图1所示的图形．
(1)请你根据小郑画的图形，写出已知和求证，并完成证明；
(2)如图2，小郑取了一张长方形纸片，且，沿过点G的折痕将翻折，使得点F落在上的点处，折痕交于点M，则的度数为______；
(3)小郑在（2）的基础上，想把分成三个全等的小三角形，如何分？请说出方法．
《第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D A D D B D A A
1．C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，关键掌握当三角形中三边的关系为：时，三角形为直角三角形．
根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】解：A、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为，故能构成直角三角形，符合题意；
D、因为，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A.有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为等腰三角形的两腰相等，正确，为真命题，不符合题意；
B.到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C.直角三角形的两个锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D.全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，错误，为假命题，符合题意；
故选D．
3．A
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：，选项A一定成立；
，故，，故选项B错误；
，故选项C错误；
，，故选项D错误；
故选A．
4．D
【分析】根据，垂直平分，平分推得，代入即可得到．
【详解】解：，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
中，，
，
解得．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理．
5．D
【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集．一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．再结合选项进行判定即可．
【详解】解：在数轴上表示右侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质解答即可．
【详解】解：平移不改变图形的形状、大小、方向，
可由平移得到的三角形有个，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴，即，
∴，故A选项错误，不符合题意；
B． ∵，，
∴，故B选项错误，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
8．A
【分析】本题主要考查了平移的性质、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解题的关键．
根据图形平移和旋转的性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．仅根据已知的平移和旋转条件，无法得出 ，故不一定正确，该选项符合题意；
B．因为沿射线方向平移得到 ，根据平移的性质，对应点所连的线段相等，所以与，与是对应点，， 该选项结论说法正确，不符合题意；
C．由于先平移再旋转得到 ，旋转前后对应角相等，与是对应角，所以 ，该选项结论正确，不符合题意；
D．由旋转的性质可知，旋转前后对应线段相等，与是对应线段，所以 ，该选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
9．A
【分析】本题考查勾股定理，坐标的变化规律，等腰直角三角形的性质等知识，观察图象可知，点的位置是个点一个循环， 即得与的位置都在第一象限，且在直线上，可得点的纵坐标为，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得第个等腰直角三角形的边长，即可得点的横坐标为，进而即可求解，掌握坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：观察图形可知，点的位置是个点一个循环，
∴与的位置都在第一象限，且在直线上，
∴点的纵坐标为，
∵第一个等腰直角三角形的直角边，
第二个等腰直角三角形的边长，
第三个等腰直角三角形的边长，
，
∴第个等腰直角三角形的边长，
∴第个等腰直角三角形的边长，
∴点的横坐标为，
∴的坐标为，
故选：．
10．；点共线，点共线，点共线
【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可．
【详解】解：∵和关于点O成中心对称，
∴；点共线，点共线，点共线，
故答案为：；点共线，点共线，点共线．
11．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即有4对全等三角形，
故答案为：4．
12．104
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质可得，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为的长加上的长，即可得出结果．
【详解】解：由图可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米；
故答案为：104．
13．
【分析】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明平分
过P作于N，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度．
【详解】解：过P作于N，
由题意得：，
，
平分，
，
，
，
，
，
、P在这把直尺上的刻度读数分别是、，
，
的长度是
故答案为：．
14．
【分析】首先根据旋转的定义和已知条件确定旋转角为，然后由勾股定理可求的长，再由勾股定理可求的长即可．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，
，
又，
，
，
连接，如图所示：
由旋转图形的性质可知，，旋转角，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及旋转的性质、直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，证明是本题的关键．
15．
【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为；
故答案为：
【点睛】本题考查了作图 复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
16．9
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用．设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，根据题意列方程组得到n与x及y与x的关系式，进而可得8分钟后不排队的现象，可得不等式解决问题．
【详解】解：设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，由题意得
，
解得，
∵要使8分钟内不出现排队现象，则，
∵，
∴将代入，得，
∵m是正整数，
∴m的最小值为9，
∴车站承诺8分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放9个售票窗口，
故答案为：9．
17．，数轴表示见解析
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，把解集表示在数轴上；分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
则不等式组的解集为：；
在数轴上表示如下：
18．这块地的面积为
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．
根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积．
【详解】解：连接，
因为，所以在中，由勾股定理得：
，
，
又，
在中，，
是直角三角形，
，
．
答：这块地的面积为．
19．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，尺规作角平分线的方法是关键．
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据题意，证明即可求解．
【详解】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
20．(1)有5种购买方案；
(2)最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的应用．
（1）设购买型设备x台，型设备台，根据该公司购买节能设备的资金不超过220万元，列出不等式，求出x的值即可得出答案；
（2）根据型、型的产量和公司要求每月的产量不低于6120吨，列出不等式，求出x的值，确定出方案，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设购买型设备x台，型设备台，
根据题意，得，解得，
因为每一种新设备至少买1台，
所以，2，3，4，5，
所以有5种购买方案；
（2）解：根据题意，得，
解得，
则x为4或5，
当时，购买资金为(万元)，
当时，购买资金为 (万元)，
因为，
所以最省钱的购买方案为购买型设备4台，型设备6台．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了中心对称作图的知识；根据中心对称的性质得到各顶点的对称点是解决问题的关键．
（1）延长分别到点，使，连接即可．
（2）连接，并延长至点，使，连接即可．
（3）连接，分别延长至点，使，，，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求的三角形．
（2）解：如图所示：即为所求的三角形．
（3）解：如图所示：即为所求的三角形．
22．(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键．
（1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据三角形面积公式即可得出答案
【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，
，，
，，
两函数解析式联立，得，
解得：，
；
（2）观察图象，时x的取值范围是．
（3），，，
，点到轴的距离为，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义下求点的坐标，平移的坐标表示等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据派生点的定义，结合点的坐标计算后即可得出结论；
（2）根据派生点的定义，结合点的坐标列出二元一次方程组，计算后即可得出结论；
（3）先根据点的平移特点得出点的坐标为，再由派生点的定义和点的“阶派生点”位于坐标轴上，在轴上，则横坐标为0，求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，点的“2阶派生点”的坐标为
即：；
∴点的“3阶派生点”的坐标为．
（2）解：由题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点
∴点
∴的“阶派生点”为：即
点在y轴上
，
解得：；
此时；
∴点的坐标．
24．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的是折叠的性质、等边三角形的性质与判定等知识，
（1）根据题意先写出已知和求证，延长到点D，使，连接，证明是等边三角形即可证明结论；
（2）由（1）知，再根据平行线的性质及折叠性质求出结论；
（3）折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形
【详解】（1）已知：在中，，；
求证：；
证明：延长到点D，使，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
是等边三角形
∴，
∴；
（2）解：由折叠得：，
在长方形中，，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形．
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