第1-3章阶段测试卷（含解析）

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第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：
x … 0 …
y … 4 0 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时， D．二次函数的最小值是
3．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为80厘米，底面圆的直径为40厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线，求平移前抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形边长为，点是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是 ．
10．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则 ．
11．某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：，，）
12．如图，平行四边形的顶点C在y轴正半轴上，平行于x轴，直线交x轴于点，连接，反比例函数的图象经过点D．已知，则k的值是 ．
13．如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为 ．
14．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ．
15．如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，则 ：若延长交边于点，则 ．
16．如图，内接于，，直线与相切，点为切点，为半径，若，则等于 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，且，求的半径与线段的长．
19．已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．
20．在学校组织的实践活动中，初三3班数学兴趣小组决定利用所学知识测量文通塔的高度如图，小明同学先在运河边的处放置好测倾器，测得塔尖的仰角为，接下来向前走之后到达处，测得此时塔尖的仰角为，已知测倾器的高度为，点，，在同一直线上，求文通塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，）
21．如图1是东罗马鎏金银盘，这只鎏金银盘是舶来品，专家鉴定为东罗马帝国的产品．不过，它大约是一千五六百年前舶来的，现今落脚于甘肃省博物馆，成为众多馆藏文物中的“异类”——正是这个“异类”见证了千年前丝绸之路东西方贸易的繁荣．如图2，把它看作一个圆，点为圆心，点为上一点．
(1)请用不带刻度的直尺和圆规，在图2中作出的内接正方形；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中画出的图形，过圆心作边的垂线，分别交和于点，，若的半径为，则的长为______________．
22．在中，，点D为线段上一点，连接．
(1)如图1，若，求线段的长；
(2)如图2，以为边作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．
①取的中点O，连接，求证：；
②若，探究与之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P．
(1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：．
24．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB．
①当时，求的面积.
②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．
《第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C D C C C
1．A
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的乘法，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式乘法法则求解，最后合并即可．
【详解】解：
，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
A、，抛物线开口向上，A不正确；
B、，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，B不正确；
C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上，
∴当时，，故C正确；
D、，二次函数的最小值是，D不正确；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积、先求出圆锥底面圆的周长等知识点，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
先求出圆锥的底面圆的周长，然后运用圆锥的侧面积计算公式计算即可解答，
【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米，
∴圆锥的侧面积为平方厘米．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查抛物线平移．根据题意利用左加右减，上加下减进行平移即可得到本题答案．
【详解】解：由题意得：将抛物线先向上平移5个单位得到，再向右平移2个单位得：，
∴平移前抛物线的表达式为．
6．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键．
根据二次函数图象可得，结合题意判定即可．
【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点，
∴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图像与轴有两个交点，
∴，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C选项正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴与时，值相等，
∴当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
7．C
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：，
则，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键．如图所示，连接交于H，取中点O，连接，先证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，即点E运动到点H时， 当三点共线时，有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④．
【详解】解：如图所示，连接交于H，取中点O，连接，
∵四边形是正方形，
∴；
∵，
∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∵，
∴点H在圆O上，
∵，
∴当三点共线，即点E运动到点H时，，故①正确；
∵点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，即，故②正确；
如下图所示，当与相切时有最大值，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数最大值不是，故③错误；
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
9．或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；确定二次函数图象的对称轴为直线，分两种情况，当及，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
当时，由，则；
当时，点P关于对称轴的对称点为，
由，则；
综上，或．
故答案为：或．
10．
【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点E，由题意得：，，，然后根据解直角三角形可进行求解．
【详解】解：过点A作于点E，如图所示：
由题意得：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵在中，
∴，
∴；
故答案为51．
12．8
【分析】过点D作轴于点F，设点D的坐标为，由平行四边形的性质可得出，再结合平行线的性质以及角的计算得出，通过解直角三角形用的余弦、m和k表示出来和，由，结合三角形的面积公式，即可得到结果．
【详解】解：过点D作轴于点F，如图所示．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵平行于x轴，
∴，
∵，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴设点D的坐标为，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的面积以及解直角三角形，用的余弦、m和k表示出来和是解题的关键．
13．7
【分析】首先得出，进而得出为等边三角形，由已知得出的长，进而得出的长，再求出的长，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
如图：作于点M，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，．
∴，
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心定与性质、等边三角形的判断与性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、垂径定理等知识点，求得的长是解题的关键．
14．或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线过点且平行于轴，
∴直线，
∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即，
∴或，
故答案为：或．
15． / /
【分析】连接，易证，设，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得；连接，，设，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：连接，如图，
正方形的边长为2，
，
点是中点，
，
四边形是正方形，
，
由折叠可知：，
则，，，
，
在和中，
，
．
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
∴；
连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，即，
解得，即，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，解直角三角形，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，连接，，根据切线的性质得出，由得，由三角形定理得，由圆周角定理得，由得，可得，由得．
【详解】解：连接，，如图，
∵直线与相切，
∴，即,
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用二次根式的除法、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行计算即可．
【详解】解：
18．(1)见解析
(2)的半径为6，
【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
．
，
．
．
∴,
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：在中，
，，
，
．
即的半径为6．
，
，
．
，，
∴，
∴，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
19．(1)直线
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数图形的性质，掌握二次函数图形的开口，最值的计算，对称轴直线的计算等知识，数形结合分析，分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入，运用对称轴直线的计算公式求解即可；
（2）二次函数图象的对称轴是，则，，根据二次函数图象的性质得到当时，的值最大，代入计算即可求解；
（3）分类讨论：当时，，当时，或，数形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数，则对称轴直线为，
由题意知，二次函数的图象过，
，则，
，
二次函数图象的对称轴是；
（2）解：二次函数图象的对称轴是，
，
，
当时，二次函数的图象草图如图1，
由图象可以看出：在范围内，点的位置最高，
∴当时，的值最大，
此时，．
解得；
（3）解：当时，函数图象草图如图2，
点在，之间的抛物线上，此时当点在点的位置时的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
，
又，
，
解得，
又，
，
当时，函数图象的草图如图3，
点在之间的抛物线上，此时点在点处的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
或，
又，
或，
解得或（不合题意舍去），
综上所述，的取值范围是或．
20．文通塔的高度为．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．如图，延长交于点G，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，，，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点G，
根据题意得：，，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，经检验符合题意，
即，
∴，
答：文通塔的高度为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，熟知垂径定理和正方形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
（2）由正方形的性质和勾股定理求出的长，由垂径定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解；如图所示，连接并延长，交于C，过点O作的垂线，分别交于B、D，则四边形即为所求；
分别为的直径，则相等且互相垂直平分，则四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)①见解析，②，理由见解析
【分析】（1）在中根据，可得，再根据可得线段的长；
（2）证为等边三角形得，，再根据为等边三角形得，，由此得，进而可依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出结论；
（3）过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
；
（2）①证明：在中，，点为边中点，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
，
∴；
②解：，，之间的数量关系是，理由如下：
过点作交于点，如下图所示：
则，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
在（2）的条件下，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
又，
，
．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决问题的关键．
23．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）如图，连接，先证明，再结合等腰三角形的性质证明，进一步可得答案；
（2）如图，连接，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步结合三角形的外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）可得：，
∵点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．(1)抛物线
(2)①的面积为3；②点的坐标；当时，有最大值，最大值为
【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①求出点P坐标，再求出的面积即可；②过点Q作于点H，设点P坐标，求出直线解析式，列出的代数式，再确定它的最大值和E点坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得， 则直线，
当时，，点，
又∵，抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：① 轴， ，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值．
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