从江县庆云中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测
八年级数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确)
1．下列各组数中，是勾股数的是( )
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．7，24，25
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AC＝6，则AB的长为( )
A．4 B． C．2 D．
3．在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，则( )
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.若AB＝15 cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为( )
A．150 cm2 B．200 cm2 C．225 cm2 D．无法计算
5．如图，AB⊥AO，BC⊥BO.若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长为( )
A．2 B．2 C．4 D．2
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若CD＝3，BD＝4，则BE的长为( )
A．5 B． C． D．2
7．如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AD是边BC上的中线，则AD的长为( )
A．1 B．2 C． D．
8．若要将一块不能弯曲的正方形(不考虑厚度)木块搬进室内，需要通过一扇如图所示的高为2 m，宽为1 m的门，则以下边长的木块可以通过此门的是( )
A．2.8 m B．2.5 m C．2.2 m D．以上都不对
9．在《九章算术》中有一个问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面( )
A．4尺 B．3.6尺 C．4.5尺 D．4.55尺
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A(0，4)，B(0，－2)，BC＝AC＝5，则顶点C的坐标是( )
A．(1，4) B．(4，1) C．(4，2) D．(3，1)
11．如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么(a＋b)2的值为( )
A．25 B．28 C．16 D．48
12．如图，圆柱的底面直径AB＝，高BC＝12.动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则点P移动的最短距离为( )
A．10 B．12 C．14 D．20
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是________________________________________ _．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长为____．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是________．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为____．
三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)
(1)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，以AB为边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是16，求AC的长．
(2)如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E分别在格点上，连接AB，AE，BE.求证：AB⊥AE.
18．(本题满分10分)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8 m(AC＝8 m)处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长17 m，云梯底部距地面3 m(AE＝3 m)．发生火灾的住户窗口距离地面有多高(BD的长)
19．(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝45°，AB＝2，D是BC上一点，AD＝，求CD的长．
20．(本题满分10分)某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20 km，D城到铁路AB的距离DB＝60 km，AB＝100 km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，求AE，BE的长．
21．(本题满分10分)如图，D为△ABC的边BC上的一点，AB＝10，AD＝6，CD＝2AD，BD＝CD.
(1)求BC的长；
(2)求△ABC的面积．
22．(本题满分10分)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
23．(本题满分12分)在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，∠ABC＝90°.若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元．
24．(本题满分12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理：a2＋b2＝c2.已知∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形．
(1)请把四边形ACFD的面积表示出来；
(2)请你利用该图证明勾股定理，并写出过程．
25．(本题满分12分)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三段，若以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边．若AB＝12，AM＝5，求BN的长．答案：
1.D
2.B
3.B
4.C
5.D
6.B
7.D
8.C
9.D
10.B
11.B
12.A
13. 如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等
14.4
15.3－
16.10
17.（1）解：∵正方形的面积是16，
∴AB＝4.
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，
∴AC＝＝2.
（2）
证明：∵AE2＝12＋32＝10，
AB2＝12＋32＝10，
BE2＝22＋42＝20，
∴AE2＋AB2＝20＝BE2.
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°.
∴AB⊥AE.
18.
解：由题意，知AC⊥BD，CD＝AE＝3 m，AC＝8 m，AB＝17 m.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝＝15 m，
∴BD＝BC＋CD＝18 m.
答：发生火灾的住户窗口距离地面18 m．
19.
解：∵∠C＝90°，∠CAB＝45°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝45°＝∠CAB.
∴AC＝BC.
在Rt△ABC中，AB＝2，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即2AC2＝(2)2.
∴AC＝.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD＝＝2.
20.解：设AE＝x km，则BE＝(100－x)km.
根据题意，得CE＝DE.
∴202＋x2＝(100－x)2＋602，
解得x＝66.∴100－x＝34.
∴AE＝66 km，BE＝34 km.
21.解：(1)∵AD＝6，∴CD＝2AD＝12.
∴BD＝CD＝8.
∴BC＝BD＋CD＝20.
(2)在△ABD中，AB＝10，AD＝6，BD＝8，
∴AD2＋BD2＝100＝AB2.
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∴S△ABC＝BC·AD＝60.
22.解：设BD＝x，则CD＝14－x.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＝AB2－BD2＝152－x2.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2.
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.
∴AD＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝84.
23.
解：连接AC.
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，
∴AC＝＝15 m.
∵CD＝17 m，AD＝8 m，∴AD2＋AC2＝CD2.
∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AD·AC＝×9×12＋×8×15＝114(m2).
∴绿化这片空地共需花费100×114＝11 400(元).
24.解：(1)S四边形ACFD＝(AC＋DF)·CF＝(b＋b＋a)·b＝b2＋.
(2)连接BD.由题意知BF＝b－a，DF＝b＋a.
∵S四边形ABFD＝S四边形ACFD－S△ABC＝S△ABD＋S△BFD，
∴b2＋－＝c2＋(b－a)(b＋a).
∴b2＝c2＋b2－a2，即b2＋a2＝c2.
∴a2＋b2＝c2.
25.解：(1)是．理由如下：
∵AM＝2，MN＝4，BN＝2，
∴AM2＋BN2＝22＋(2)2＝16，MN2＝42＝16.
∴AM2＋BN2＝MN2.
∴以AM，MN，BN为边的三角形是直角三角形．
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
(2)设BN＝x.
∵AB＝12，AM＝5，∴MN＝12－5－x＝7－x.
①当MN为斜边时，
依题意，得MN2＝AM2＋BN2，
即(7－x)2＝x2＋25，解得x＝；
②当BN为斜边时，
依题意，得BN2＝AM2＋MN2，
即x2＝25＋(7－x)2，解得x＝.
综上所述，BN的长为或.
