第6-8章阶段测试卷（含解析）
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第6-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学七年级下册沪科版（2024）
一、单选题
1．一种半导体电子元件的半径约为0.000024米，把0.000024用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间
C．在6和7之间 D．在7和8之间
4．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得（） D．由，得
6．某商品进价为350元，出售时标价为550元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
7．已知，则的值是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
9．比较大小
10．若，则 ．
11．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是 ．
12．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
13．方程组的解，都是正数，则整数 ．
14．如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是 ．
15．数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ．
16．定义表示不超过的最大整数，如，，定义
（1）当时， ；
（2）当时，的范围是 ．
三、解答题
17．计算：
18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
19．已知（，是正整数），求的值．
20．计算：
(1)
(2)
21．若关于，的方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
22．某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．观察下列关于自然数的等式：
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：_____；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
24．阅读下面的文字，解答问题：
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，求．
25．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
(1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值，
(3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由．
《第6-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学七年级下册沪科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B B D A
1．C
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③π或与π有关的式子（注意π乘以0等于0，为有理数）．根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是无理数，故本项符合题意；
B、是整数，是有理数，故本项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故本项不符合题意；
D、是有限小数，是有理数，故本项不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数大小可得，然后得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】此题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的性质，立方根的性质，进行计算与判断即可．
【详解】A、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原式计算正确，故此选项符合题意；
D、，原式计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查不等式的性质，由不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意；
B、由，得，选项正确，符合题意；
C、由，若，则，原选项错误，不符合题意；
D、由，若，，则，选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意正确的列不等式是解题的关键．设可打折，依题意得，计算求解然后作答即可．
【详解】解：设可打折，
依题意得，，
解得，，
∴至多可打七折，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，由得到，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是，
不等式组的解集为．
关于的不等式组的整数解共有个，
∴．
故选：A．
9．
【分析】本题考查了实数的大小比较．根据实数的性质，运用比差法计算即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．
设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值；
【详解】解：设；整理得：；
将左右两边同时乘以，
则；
则
；
要求最大值，
所以为正整数，
∵
∴当时，
解得：；
当时
（舍去）
当时，
解得：(舍去），
当时，
解得：，
故最大为；
故答案为：
12．25
【分析】本题考查了平方根的概念与性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；据此得，求得a的值，即可求解．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
即这个正数的平方根是和，
∴这个正数为；
故答案为：25．
13．29
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x、y的取值，然后根据x、y是正数，解得出k的取值范围，求得整数k的值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴得，，
∴③，
把③式代入②式，化简得，
∵x、y的值都是正数，
∴，，
解得，，
∴整数m的值为．
故答案为：29．
14．32
【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答．
【详解】解：设正方形和的边长为、，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
故答案为32．
15．/
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
16． 或
【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键．
（1）直接运用新定义求解即可；
（2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可．
【详解】解（1）有题意可得：当时，．
∴当时，．
故答案为：．
（2）当时：
当时，．
将代入，可得．
∵，
∴，即．
当时，．
将代入，可得．
当时，．
将代入，可得．
∵，
∴，即．
综上，y的取值范围为或．
答案为或．
17．3
【分析】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
先分别化简算术平方根及立方根、绝对值，再计算加减．
【详解】解：原式
．
18．(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可．
（2）根据解不等式组的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，不等式组，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：
将不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）解：
解：解不等式①，得：
解不等式②，得：
将不等式①②的解集在同一数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
19．64
【分析】本题主要考查了单项式乘法、幂的乘方的逆用等知识点，掌握整体思想成为解题的关键．根据单项式乘法法则可得，再逆用幂的乘方可得，最后将整体代入计算即可．
【详解】解：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键；
（1）先把方程两边同时除以25，再把方程两边同时开平方即可得到答案；
（2）先把方程两边同时开立方，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组即可；
（2）利用（1）中k的取值范围，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：，
得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
．
22．(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元
(2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可；
（2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元；
（2）解：能；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，
，
解得：，
∵a为整数，
或．
方案有两种：
方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；
方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台．
23．(1)
(2)．
【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究；
（1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
（2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：第四个等式为，
故答案为：；
（2）解：猜想：第个等式为，
证明：等式左边：．
∴等式左右两边相等，
∴第个等式为．
24．(1)3，
(2)1
(3)
【分析】此题考查了实数的混合运算、无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
（1）根据题意计算求解即可；
（2）根据题意先求出a，b的值，代入求解即可；
（3）求出，则，由，其中x是整数，得到，然后即可求出．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，即，
∵，即
∴的小数部分为，即
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
∴的小数部分为，
即；
由可得，，
∴，
∴的小数部分为，
即；
∴．
（3）解：∵，
即，
∴，
∴的整数部分为12，小数部分为，
∴，
又∵，其中x是整数，且，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)（答案不唯一）
(3)当时，a，b，c，d是一组平衡数
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，．
（1）直接根据定义计算的值；
（2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论；
（3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式．
【详解】（1）解：
（2）由题意，得
，
因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可）
（3），
，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数
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第6-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学七年级下册沪科版（2024）
一、单选题
1．一种半导体电子元件的半径约为0.000024米，把0.000024用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间
C．在6和7之间 D．在7和8之间
4．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得（） D．由，得
6．某商品进价为350元，出售时标价为550元，由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
7．已知，则的值是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
9．比较大小
10．若，则 ．
11．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是 ．
12．若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
13．方程组的解，都是正数，则整数 ．
14．如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是 ．
15．数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ．
16．定义表示不超过的最大整数，如，，定义
（1）当时， ；
（2）当时，的范围是 ．
三、解答题
17．计算：
18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
19．已知（，是正整数），求的值．
20．计算：
(1)
(2)
21．若关于，的方程组的解满足．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
22．某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 2台 3台 900元
第二周 3台 5台 1430元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求A、B两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．观察下列关于自然数的等式：
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：_____；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
24．阅读下面的文字，解答问题：
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，求．
25．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
(1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值，
(3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由．
《第6-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学七年级下册沪科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B B D A
1．C
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，在初中阶段它的表现形式有三类：①无限不循环小数；②开方开不尽的数；③π或与π有关的式子（注意π乘以0等于0，为有理数）．根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是无理数，故本项符合题意；
B、是整数，是有理数，故本项不符合题意；
C、是分数，是有理数，故本项不符合题意；
D、是有限小数，是有理数，故本项不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数大小可得，然后得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】此题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的性质，立方根的性质，进行计算与判断即可．
【详解】A、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原式计算正确，故此选项符合题意；
D、，原式计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查不等式的性质，由不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，根据不等式性质可得，选项错误，不符合题意；
B、由，得，选项正确，符合题意；
C、由，若，则，原选项错误，不符合题意；
D、由，若，，则，选项错误，不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意正确的列不等式是解题的关键．设可打折，依题意得，计算求解然后作答即可．
【详解】解：设可打折，
依题意得，，
解得，，
∴至多可打七折，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，由得到，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是，
不等式组的解集为．
关于的不等式组的整数解共有个，
∴．
故选：A．
9．
【分析】本题考查了实数的大小比较．根据实数的性质，运用比差法计算即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．
设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值；
【详解】解：设；整理得：；
将左右两边同时乘以，
则；
则
；
要求最大值，
所以为正整数，
∵
∴当时，
解得：；
当时
（舍去）
当时，
解得：(舍去），
当时，
解得：，
故最大为；
故答案为：
12．25
【分析】本题考查了平方根的概念与性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；据此得，求得a的值，即可求解．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得：，
即这个正数的平方根是和，
∴这个正数为；
故答案为：25．
13．29
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x、y的取值，然后根据x、y是正数，解得出k的取值范围，求得整数k的值．此题考查的是一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴得，，
∴③，
把③式代入②式，化简得，
∵x、y的值都是正数，
∴，，
解得，，
∴整数m的值为．
故答案为：29．
14．32
【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答．
【详解】解：设正方形和的边长为、，
∵，，
∴，
又∵，
，
∴，
故答案为32．
15．/
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
16． 或
【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键．
（1）直接运用新定义求解即可；
（2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可．
【详解】解（1）有题意可得：当时，．
∴当时，．
故答案为：．
（2）当时：
当时，．
将代入，可得．
∵，
∴，即．
当时，．
将代入，可得．
当时，．
将代入，可得．
∵，
∴，即．
综上，y的取值范围为或．
答案为或．
17．3
【分析】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
先分别化简算术平方根及立方根、绝对值，再计算加减．
【详解】解：原式
．
18．(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可．
（2）根据解不等式组的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，不等式组，熟练掌握解题步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：
将不等式的解集在数轴上表示如下：
．
（2）解：
解：解不等式①，得：
解不等式②，得：
将不等式①②的解集在同一数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：．
19．64
【分析】本题主要考查了单项式乘法、幂的乘方的逆用等知识点，掌握整体思想成为解题的关键．根据单项式乘法法则可得，再逆用幂的乘方可得，最后将整体代入计算即可．
【详解】解：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键；
（1）先把方程两边同时除以25，再把方程两边同时开平方即可得到答案；
（2）先把方程两边同时开立方，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组即可；
（2）利用（1）中k的取值范围，化简绝对值即可．
【详解】（1）解：，
得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
．
22．(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元
(2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台
【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．
（1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可；
（2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元；
（2）解：能；
设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，
，
解得：，
∵a为整数，
或．
方案有两种：
方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；
方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台．
23．(1)
(2)．
【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究；
（1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
（2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：第四个等式为，
故答案为：；
（2）解：猜想：第个等式为，
证明：等式左边：．
∴等式左右两边相等，
∴第个等式为．
24．(1)3，
(2)1
(3)
【分析】此题考查了实数的混合运算、无理数的估算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
（1）根据题意计算求解即可；
（2）根据题意先求出a，b的值，代入求解即可；
（3）求出，则，由，其中x是整数，得到，然后即可求出．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，即，
∵，即
∴的小数部分为，即
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
∴的小数部分为，
即；
由可得，，
∴，
∴的小数部分为，
即；
∴．
（3）解：∵，
即，
∴，
∴的整数部分为12，小数部分为，
∴，
又∵，其中x是整数，且，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)（答案不唯一）
(3)当时，a，b，c，d是一组平衡数
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，．
（1）直接根据定义计算的值；
（2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论；
（3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式．
【详解】（1）解：
（2）由题意，得
，
因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可）
（3），
，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数
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