第16-18章阶段测试卷（含解析）
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第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版
一、单选题
1．使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．把整式表示成的形式，则的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．7 D．3.5
6．若一直角三角形的两边长分别是3和4，则它的面积为（ ）
A．5 B．6 C．5或 D．6或
7．龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（ ）
A．625 B．175 C．600 D．25
二、填空题
9．如图，已知，则数轴上点所表示的数是 ．
10．若，则整数的值为 ．
11．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ．
12．若，则的值为 ．
13．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ．
14．已知方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ．
15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：
（1）若，且均为正整数，则 ；
（2）化简的正确结果为 ．
16．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知，，求的值．
19．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长．
20．米小圈等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个．购买哪吒手办共需22100元，敖丙手办共需10000元．
(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
(2)经由米小圈的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了1000元，求的值．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量：
①测得水平距离的长为；
②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为
③该同学身高1.6m
(1)求风筝的垂直高度
(2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？
22．如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形场地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为，求种植蔬菜的场地的面积．
23．在进行二次根式化简时，如遇到，，这类式子，我们需要将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简：_____．
(2)，，求的值．
(3)计算：．
24．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：．
【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，．
求证：．
证明：由图可知，
∵，________，正方形边长为________，∴，
即．
【知识迁移】
（2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到，
①如图2，连接，则线段的长为________；
②如图3，连接，请求出线段的长．
《第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C A D C D
1．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围．
【详解】解：由题意知：，
解得：；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握其运算法则是关键．
根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可求解．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
3．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定字母的值，再代入求值．
【详解】解：∵，，
∴，则，
，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号．
【详解】解：由数轴得，
∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答．
【详解】解：∵
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
当时，则有最小值，且为．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，注意在实际应用时有必要的时候分情况讨论．分为两种情况：①斜边是4，有一条直角边是3；②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：分为两种情况：
①斜边是4，有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是=，
∴该三角形的面积为；
②3和4都是直角边，则该三角形的面积为，
即该三角形的面积为6或；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意，得，即，
故选C．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理的计算得到，由此即可求解．
【详解】解：根据图示得到，，
∴（负值舍去），
故选：D ．
9．/
【分析】本题考查了利用勾股定理计算线段长度，解题的关键是结合数轴上点的位置关系进行求解．先在中，利用勾股定理计算的长度，然后在中，计算的长度，根据，确定的长度，进而求解点在数轴上所表示的数．
【详解】解：如图所示，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点在原点的右侧，
数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
10．16
【分析】本题考查二次根式的运算，两边平方求出m的值即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：16．
11．
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接，
根据题意：，，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
12．2025
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，
，
，
，
，
故答案为：2025．
13．等腰直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理—如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意可得，，进而得到，，根据勾股定理的逆定理可得的形状．
【详解】解：，
，，
，，
的形状为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
14．
【分析】本题考查换元法解分式方程，根据题意，先化成关于的分式方程，再去分母转化为关于的整式方程即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴原方程化为：，
去分母，得：，整理，得：；
故答案为：．
15． 3 /
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可；
（2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
（2）
．
故答案为：．
16．9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】解：设每次打了折，
由题意得，，
解得：，（舍去），
每次打了9折．
故答案为：9．
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、实数的加减混合运算、解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握相关运算．
（1）根据求一个数的立方根、算术平方根、有理数的加减混合运算进行计算即可；
（2）根据求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、实数的加减混合运算、进行计算即可；
（3）由直接开平方法解 一元二次方程即可得解；
（4）先开立方，再解一元一次方程即可得解．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
．
18．49
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先求出的值，再根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
19．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答．
【详解】解：，，，
，
，
是直角三角形，，
的面积，
．
20．(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得，
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意，
（元）
答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
（2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个
据题意得，
解得：或（舍去）
答：的值为
21．(1)米
(2)8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴在中，由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
22．种植蔬菜的场地的面积是
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，根据种植蔬菜的场地的面积等于长方形空地的面积减去长方形养鸡场的面积计算即可．
【详解】解：
答：种植蔬菜的场地的面积是．
23．(1)
(2)10
(3)2025
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先求出，，，再把变形为，最后整体代入计算即可；
（3）先把括号内的部分进行分母有理化，然后合并同类二次根式再进行乘法运算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∴
；
（3）解：
．
24．（1），（2）① ②
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解答；
（2）①设交于点N，由折叠可得是的垂直平分线，则，根据勾股定理求得，根据的面积求得，即可解答；
②过点作，交的延长线于点，则，在中，由勾股定理得，设，则，
根据勾股定理有，代入求得m的值，从而得到，，再由勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）证明：由图可知，
∵，，正方形边长为，
∴，
即．
故答案为：，；
（2）①如图2，设交于点N，
由折叠可得是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：；
②如图，过点作，交的延长线于点，则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴．
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第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版
一、单选题
1．使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．把整式表示成的形式，则的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．7 D．3.5
6．若一直角三角形的两边长分别是3和4，则它的面积为（ ）
A．5 B．6 C．5或 D．6或
7．龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（ ）
A．625 B．175 C．600 D．25
二、填空题
9．如图，已知，则数轴上点所表示的数是 ．
10．若，则整数的值为 ．
11．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ．
12．若，则的值为 ．
13．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ．
14．已知方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ．
15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：
（1）若，且均为正整数，则 ；
（2）化简的正确结果为 ．
16．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知，，求的值．
19．如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长．
20．米小圈等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.3倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多14个．购买哪吒手办共需22100元，敖丙手办共需10000元．
(1)求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？
(2)经由米小圈的争取，商家同意哪吒手办的单价降低3m元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了1000元，求的值．
21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量：
①测得水平距离的长为；
②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为
③该同学身高1.6m
(1)求风筝的垂直高度
(2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？
22．如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形场地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为，求种植蔬菜的场地的面积．
23．在进行二次根式化简时，如遇到，，这类式子，我们需要将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简：_____．
(2)，，求的值．
(3)计算：．
24．我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：．
【探究发现】（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，．
求证：．
证明：由图可知，
∵，________，正方形边长为________，∴，
即．
【知识迁移】
（2）在中，，，过点作，垂足为，，将沿翻折后得到，
①如图2，连接，则线段的长为________；
②如图3，连接，请求出线段的长．
《第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册沪科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C A D C D
1．C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数非负得，解不等式即可求得取值范围．
【详解】解：由题意知：，
解得：；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握其运算法则是关键．
根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可求解．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
3．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定字母的值，再代入求值．
【详解】解：∵，，
∴，则，
，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了数轴，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
先根据数轴确定，再由根的判别式得到，即可确定符号．
【详解】解：由数轴得，
∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答．
【详解】解：∵
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
当时，则有最小值，且为．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，注意在实际应用时有必要的时候分情况讨论．分为两种情况：①斜边是4，有一条直角边是3；②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：分为两种情况：
①斜边是4，有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是=，
∴该三角形的面积为；
②3和4都是直角边，则该三角形的面积为，
即该三角形的面积为6或；
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【详解】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意，得，即，
故选C．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理的计算得到，由此即可求解．
【详解】解：根据图示得到，，
∴（负值舍去），
故选：D ．
9．/
【分析】本题考查了利用勾股定理计算线段长度，解题的关键是结合数轴上点的位置关系进行求解．先在中，利用勾股定理计算的长度，然后在中，计算的长度，根据，确定的长度，进而求解点在数轴上所表示的数．
【详解】解：如图所示，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点在原点的右侧，
数轴上点所表示的数是，
故答案为：．
10．16
【分析】本题考查二次根式的运算，两边平方求出m的值即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：16．
11．
【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接，
根据题意：，，
在中，由勾股定理得：.
故答案为：．
12．2025
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，
，
，
，
，
故答案为：2025．
13．等腰直角三角形
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理—如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意可得，，进而得到，，根据勾股定理的逆定理可得的形状．
【详解】解：，
，，
，，
的形状为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
14．
【分析】本题考查换元法解分式方程，根据题意，先化成关于的分式方程，再去分母转化为关于的整式方程即可．
【详解】解：，
，
∵，
∴原方程化为：，
去分母，得：，整理，得：；
故答案为：．
15． 3 /
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可；
（2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
（2）
．
故答案为：．
16．9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答．
【详解】解：设每次打了折，
由题意得，，
解得：，（舍去），
每次打了9折．
故答案为：9．
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算、实数的加减混合运算、解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握相关运算．
（1）根据求一个数的立方根、算术平方根、有理数的加减混合运算进行计算即可；
（2）根据求一个数的立方根、算术平方根、求一个数的绝对值、实数的加减混合运算、进行计算即可；
（3）由直接开平方法解 一元二次方程即可得解；
（4）先开立方，再解一元一次方程即可得解．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
．
18．49
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先求出的值，再根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
19．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答．
【详解】解：，，，
，
，
是直角三角形，，
的面积，
．
20．(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得，
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意，
（元）
答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元；
（2）解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个
据题意得，
解得：或（舍去）
答：的值为
21．(1)米
(2)8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴在中，由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
22．种植蔬菜的场地的面积是
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，根据种植蔬菜的场地的面积等于长方形空地的面积减去长方形养鸡场的面积计算即可．
【详解】解：
答：种植蔬菜的场地的面积是．
23．(1)
(2)10
(3)2025
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先求出，，，再把变形为，最后整体代入计算即可；
（3）先把括号内的部分进行分母有理化，然后合并同类二次根式再进行乘法运算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，，
∴
；
（3）解：
．
24．（1），（2）① ②
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解答；
（2）①设交于点N，由折叠可得是的垂直平分线，则，根据勾股定理求得，根据的面积求得，即可解答；
②过点作，交的延长线于点，则，在中，由勾股定理得，设，则，
根据勾股定理有，代入求得m的值，从而得到，，再由勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）证明：由图可知，
∵，，正方形边长为，
∴，
即．
故答案为：，；
（2）①如图2，设交于点N，
由折叠可得是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∵，
即，
∴，
∴．
故答案为：；
②如图，过点作，交的延长线于点，则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴．
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