第16-18章阶段测试卷（含解析）
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第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么
D．对顶角相等
4．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
5．已知中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（ ）．
A． B．2 C． D．
8．如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
10．已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
11．如图，点P 的坐标为，点Q位于x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，则点Q的坐标为 ．
12．如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为 ．
13．如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，连接，以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ．
14．如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ．
15．如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为和的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中阴影部分），则大正方形的边长为 cm．
16．如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图中，以格点为顶点画一个三角形，使三边长、、；并求出到的距离．
(2)如图，，，，都是格点，与相交于点，则______．
19．如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点分别为上的点，且．
(1)若设，，满足，求及的长．
(2)求证：．
20．在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；
．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值．
21．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形．
22．如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动（回到点停止），且速度为每秒个单位，设运动时间为秒．
(1)在中边上的高长为______；边上的高长为______；
(2)当时，求的值；
(3)如图，若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的的值．
23．如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，；
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，点在上且平分，求出线段的长度．
24．综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
(1)如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
(2)如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
(3)如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
《第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C C C D B
1．A
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，根据二次根式的运算法则逐项计算判断，即可解题．
【详解】解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
B选项：，故B选项错误，不符合题意；
C选项：，故C选项正确，符合题意；
D选项：，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查判断逆命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握实数的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理和对顶角的性质，是解题的关键．
【详解】解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为：如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，符合题意；
D、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先计算，再进行无理数的估算，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
的值应在6和7之间，
故选C．
5．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子．
【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边，
，B选项式子正确，不符合题意；
小正方形的面积是4，
，A选项式子正确，不符合题意；
大正方形的面积是36，小正方形的面积是4，
四个全等的直角三角形的面积和为，
，
，D选项式子正确，不符合题意；
，
，C选项式子错误，符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由菱形的性质和得出是等边三角形，进而得出的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵菱形花坛的边长为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在 中，由勾股定理得：，
∴，
∴花坛的面积为：，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得，进而求解即可．
【详解】若式子在实数范围内有意义，
∴
∴．
故答案为：．
10．8
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10，
∴另一条对角线的长为，
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的定义及性质，两点间距离公式等知识，学会分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
根据题意分、讨论，分别根据等腰三角形的性质和两点间距离公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
①当时，，
则．
②当时，过点作轴于点，
则，
∴，
则．
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分交于F，平分交于E，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解题关键．首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数．
【详解】解：正方形以单位长度为边长，
，，
，
以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，
，
点E表示的数为，
故答案为：．
14．①③/③①
【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
【详解】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，平分，故①③正确；
无法证明四边形是矩形，故②错误；
综上所述，①③共2个正确．
故答案为：①③．
15．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，
根据正方形的面积表示出边长，再相加可得答案．
【详解】解：设两个小正方形的边长为a，b，
∴，
∴，
∴大正方形的边长为（）．
故答案为：．
16．
【分析】过F点作于M，于N，根据角平分线的性质可得．根据“四边形内角和等于”可求得，则，由此可得，再根据ASA证明，则可得，再求得，在中，求出、的长．最后在中根据勾股定理即可求出的长，也就可知的长．
【详解】解：如图，过F点作于M，于N，
∵中，，，
∴平分，
即平分，
且，
又∵四边形中，
，
又，
，
，
即，
又，
，
，
是等边三角形，
，
作于H，
则，
，
，
，，
，
中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出是等边三角形是解题的关键．
17．(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减，零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质．解决本题的关键是利用格点构造直角三角形，根据用勾股定理画出符合长度的线段．
（1）利用勾股定理和格点画出符合要求出即可，利用勾股定理的逆定理判断的形状；
（2）借助网格作，过点作，根据三角形外角的性质可知，根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，所以可得．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求，
，，，
又，
，
是直角三角形，，
设点到的距离是，
，
，
；
（2）解：如下图所示，借助网格作，过点作，
是的外角，
，
由网格可知：，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到及的长；
（2）延长到P，使，连接，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，再利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，利用等角的余角相等得到，在中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证
【详解】（1）解；∵式子有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）延长到P，使，连接，，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式有意义的条件，非负数的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）8或16．
【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）仿照所给的方法求解即可；
（2）将化成，再代入求解；
（3）利用所给的方法进行分析，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴；
（3）①当，，
②当，．
综上所述，或．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，证明，再证明得到，证明四边形是平行四边形，结合，可证明四边形是菱形；
（2）设，则，根据四边形是正方形，
得到，故，求得（舍去），
故．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：当的长为时，四边形是正方形．
理由如下：∵四边形是菱形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴当的长为时，四边形是正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．(1)，；
(2)；
(3)为秒或秒或秒或秒．
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可知，，利用勾股定理可求，再利用三角形的面积公式可得，从而可求的长；
过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理定理求出，可得：，再根据点运动的速度求出运动的时间；
当是等腰三角形时分：当时、当时、当时，共四个满足条件的点，根据情况求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如下图所示，过点作，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：如下图所示，
当时，是等腰三角形，
过点作，
由可知，
，
，
，
秒；
当点运动到点时，，
，
秒；
如下图所示，当时，
，
，
，
秒；
如下图所示，当时，
过点作，则，
由可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：；
，
，
秒；
综上所述，若是等腰三角形，的值为秒或秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，是三角形综合题，解决本题的关键是运用分类讨论的思想，分情况解答．
23．(1)平行四边形是矩形；理由见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可；
（2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得、，由折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明得到，设，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
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第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列各式中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么
D．对顶角相等
4．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
5．已知中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．将一副直角三角尺和一把宽度为的直尺按如图所示的方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿，这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则的长是（ ）．
A． B．2 C． D．
8．如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．
10．已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
11．如图，点P 的坐标为，点Q位于x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，则点Q的坐标为 ．
12．如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为 ．
13．如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，连接，以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为 ．
14．如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是 ．
15．如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为和的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中阴影部分），则大正方形的边长为 cm．
16．如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图中，以格点为顶点画一个三角形，使三边长、、；并求出到的距离．
(2)如图，，，，都是格点，与相交于点，则______．
19．如图：在等腰直角三角形中，，点是斜边上的中点，点分别为上的点，且．
(1)若设，，满足，求及的长．
(2)求证：．
20．在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；
．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值．
21．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形．
22．如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动（回到点停止），且速度为每秒个单位，设运动时间为秒．
(1)在中边上的高长为______；边上的高长为______；
(2)当时，求的值；
(3)如图，若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的的值．
23．如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，；
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，点在上且平分，求出线段的长度．
24．综合与探究：
在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G．
(1)如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长；
(2)如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长；
(3)如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长．
《第16-18章阶段测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C C C C D B
1．A
【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意；
B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，根据二次根式的运算法则逐项计算判断，即可解题．
【详解】解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
B选项：，故B选项错误，不符合题意；
C选项：，故C选项正确，符合题意；
D选项：，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查判断逆命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握实数的性质，全等三角形的判定，勾股定理逆定理和对顶角的性质，是解题的关键．
【详解】解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
C、逆命题为：如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形为直角三角形，是真命题，符合题意；
D、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先计算，再进行无理数的估算，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
的值应在6和7之间，
故选C．
5．C
【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子．
【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边，
，B选项式子正确，不符合题意；
小正方形的面积是4，
，A选项式子正确，不符合题意；
大正方形的面积是36，小正方形的面积是4，
四个全等的直角三角形的面积和为，
，
，D选项式子正确，不符合题意；
，
，C选项式子错误，符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题关键．
由菱形的性质和得出是等边三角形，进而得出的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵菱形花坛的边长为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在 中，由勾股定理得：，
∴，
∴花坛的面积为：，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得，进而求解即可．
【详解】若式子在实数范围内有意义，
∴
∴．
故答案为：．
10．8
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10，
∴另一条对角线的长为，
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的定义及性质，两点间距离公式等知识，学会分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
根据题意分、讨论，分别根据等腰三角形的性质和两点间距离公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
①当时，，
则．
②当时，过点作轴于点，
则，
∴，
则．
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．先证明，，再根据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平分交于F，平分交于E，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解题关键．首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数．
【详解】解：正方形以单位长度为边长，
，，
，
以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点E，
，
点E表示的数为，
故答案为：．
14．①③/③①
【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
【详解】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，平分，故①③正确；
无法证明四边形是矩形，故②错误；
综上所述，①③共2个正确．
故答案为：①③．
15．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，
根据正方形的面积表示出边长，再相加可得答案．
【详解】解：设两个小正方形的边长为a，b，
∴，
∴，
∴大正方形的边长为（）．
故答案为：．
16．
【分析】过F点作于M，于N，根据角平分线的性质可得．根据“四边形内角和等于”可求得，则，由此可得，再根据ASA证明，则可得，再求得，在中，求出、的长．最后在中根据勾股定理即可求出的长，也就可知的长．
【详解】解：如图，过F点作于M，于N，
∵中，，，
∴平分，
即平分，
且，
又∵四边形中，
，
又，
，
，
即，
又，
，
，
是等边三角形，
，
作于H，
则，
，
，
，，
，
中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出是等边三角形是解题的关键．
17．(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减，零指数幂和负整数指数幂的意义，掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质．解决本题的关键是利用格点构造直角三角形，根据用勾股定理画出符合长度的线段．
（1）利用勾股定理和格点画出符合要求出即可，利用勾股定理的逆定理判断的形状；
（2）借助网格作，过点作，根据三角形外角的性质可知，根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，所以可得．
【详解】（1）解：如下图所示，即为所求，
，，，
又，
，
是直角三角形，，
设点到的距离是，
，
，
；
（2）解：如下图所示，借助网格作，过点作，
是的外角，
，
由网格可知：，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据二次根式的非负性求出，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到及的长；
（2）延长到P，使，连接，利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，再利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，利用等角的余角相等得到，在中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证
【详解】（1）解；∵式子有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）延长到P，使，连接，，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式有意义的条件，非负数的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）8或16．
【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）仿照所给的方法求解即可；
（2）将化成，再代入求解；
（3）利用所给的方法进行分析，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴；
（3）①当，，
②当，．
综上所述，或．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，证明，再证明得到，证明四边形是平行四边形，结合，可证明四边形是菱形；
（2）设，则，根据四边形是正方形，
得到，故，求得（舍去），
故．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：当的长为时，四边形是正方形．
理由如下：∵四边形是菱形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
设，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴当的长为时，四边形是正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．(1)，；
(2)；
(3)为秒或秒或秒或秒．
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可知，，利用勾股定理可求，再利用三角形的面积公式可得，从而可求的长；
过点作，根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理定理求出，可得：，再根据点运动的速度求出运动的时间；
当是等腰三角形时分：当时、当时、当时，共四个满足条件的点，根据情况求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如下图所示，过点作，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：如下图所示，
当时，是等腰三角形，
过点作，
由可知，
，
，
，
秒；
当点运动到点时，，
，
秒；
如下图所示，当时，
，
，
，
秒；
如下图所示，当时，
过点作，则，
由可知，，
设，则，
在中，，
，
解得：；
，
，
秒；
综上所述，若是等腰三角形，的值为秒或秒或秒或秒．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，是三角形综合题，解决本题的关键是运用分类讨论的思想，分情况解答．
23．(1)平行四边形是矩形；理由见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可；
（2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得、，由折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可；
（2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明得到，设，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
，，
由折叠的性质，得，
在中，由勾股定理，得．
（2）解：四边形是矩形，
，，，
点是的中点，
，
由折叠的性质，得，．
，
，
四边形是矩形．
又∵，
四边形是正方形．
，
，
在中，由勾股定理，得．
（3）解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，．
，
在中，由勾股定理，得，
由折叠的性质，得，，
，，
．
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
，解得：，
的长为．
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