第26-29章阶段测试卷（含解析）
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第26-29章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
2．下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在中，，．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段
B．关于x的方程是一元二次方程
C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形
D．已知点是函数图象上的两点，则
5．如图，在Rt中，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，是边上的中线，把绕点旋转，旋转角为，对应点为点；如果与直角边平行，则点到点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．已知正比例函数的图像与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标为 ．
10．将矩形沿向上折叠，使点落在边上的处，若，，则的长为 ．
11．一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，若，则坡面的长度为 m．
12．如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ．
13．如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m．
14．如图，在正方形中，P为边的中点，连接，交于点O，过点B作于点Q，则 ．
15．如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，于点，于点，连接，求证：．
19．如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
20．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．
(1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？
(2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：）
21．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)直接写出这一函数的表达式．
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
22．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上）
(1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____．
(2)请你在图中画出小彬站在处的影子．
(3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？
23．如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接．
(1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式；
(2)若，求点C的坐标；
(3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率．
24．综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长．
《第26-29章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B A A D D
1．B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，即可得出答案，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
【详解】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化，
故选：．
2．B
【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可．
【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个；
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
【详解】解：在中，，，设所对边分别为，
，，，，，，
，选项A正确，不符合题意；
，
，选项B正确，不符合题意；
，选项C错误，符合题意；
，选项D正确，不符合题意；
故选C．
4．B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意；
B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意；
C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意；
D、∵，
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点是函数图象上的两点，且，
∴，原命题为假命题，不符合题意；
故选B．
5．A
【分析】本题考查正弦的定义，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握正弦的定义．
利用勾股定理求出，求出，根据，即可求出．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、正方形的性质是解答本题的关键．由位似的性质可得，由正方形的性质可得，则，，进而可得答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
．
正方形的边长为12，
，
∴
，，
点坐标为．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
8．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，分当时，当时，两种情况，先根据直角三角形的性质和勾股定理得到，再由旋转的性质可得，解直角三角形得到，然后通过平行线构造直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，
过点C作，交的延长线与H，
则，
∵在中，，，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
由旋转的性质可得，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当时，
设于点H，
∵在中，，
∴，
∴；
综上所述，点到点C的距离为或，
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．由此可解答．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即点
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都是关于原点的对称，
∴另一个交点的坐标与点关于原点对称，
∴另一交点的坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质．设，则，证明，求得，，由，列式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质得，，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡的斜坡坡度，
∴，即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线．
作于，作于，分别解直角三角形求得和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】解：如图，作于，作于，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
，
在中，设，
在中，，
∴，
由得，，
，
，
故答案为： 2 ．
13．
【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
本题考查了相似三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，设，证明可求得，证明可得，即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设，
P为边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：∵A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，
∴，
∴．
故答案为：6．
16．或1.5
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可．
【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵把放大后得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算问题，熟记，的三角函数值是解题的关键．
直接代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
．
18．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答．
【详解】证明：，
，
又，
，
又，
．
19．(1)见解析，
(2)
(3)
【分析】1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移规律，确定变换后的坐标即可．
（3）利用分割求面积，解答即可．
本题考查了坐标的平移，分割法计算面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
（3）解：由，
故的面积为：．
20．(1)调整，使得
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出；
（2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴应该调整，使得．
（2）解：如图，过点A作于点G，则，
∵，的最大仰角为
∴的最大值为：，
∴点到桌面的最大高度为．
21．(1)
(2)
(3)不小于
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）设，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的值，根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）设，
由图象，把点代入，得：，
∴．
（2）∵；
当时，；
答：当气体体积为时，气压是；
（3）当时，，
解得，
在第一象限内，的值随着值的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于．
22．(1)先变短后变长；
(2)见解析
(3)路灯的高度是米．
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据光是沿直线传播的道理分析即可；
（2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子；
（3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长，
故答案为：先变短后变长；
（2）解：如图，线段即为所求作影子；
（3）解：如图，连接并延长交直线于点，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
即路灯的高度是米．
23．(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可；
（3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数与直线交于点，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：；
∴；
（2）设直线与轴交于点，设，
∵，
∴当时，，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴或，
∴或；
（3）设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∴，
设，
∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，
∴到，，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴，
整理，得：，
设，则：，
∴；
①当时，，解得：或，
∴或，
即：或，
当时，，
∴有2个不相等的实数根，
∵直线上刚好存在三个不同的P点，
∴有2个相等的实数根，
∴，解得：或；
②当时，则：，解得：或，
∴或，
当时，；
当时，；
∵直线上刚好存在三个不同的P点，
∴或，
当时，解得：或；
当，无解；
综上：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
24．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，如图所示，由矩形性质得到相关角度与边长，由三角形全等的判定得到即可得到答案；
（2）过点作交的延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定确定，再由三角形相似的判定得到，从而得证；
（3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到，再由相似比求出，过点作交于点，如图所示，先判定，再由相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【详解】（1）解：，
证明如下：
过点作于点，过点作于点，如图所示：
则，
在正方形中，，
四边形，四边形是矩形，
∴，
设交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：在矩形中，，，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
当时，如图所示：
此时，点在上，，，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
过点作交于点，如图所示：
，，
，，
，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题的关键．
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第26-29章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版
一、单选题
1．如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
2．下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在中，，．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．已知：线段，则a，b，c，d是比例线段
B．关于x的方程是一元二次方程
C．角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形
D．已知点是函数图象上的两点，则
5．如图，在Rt中，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形的边长为12，则C点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，是边上的中线，把绕点旋转，旋转角为，对应点为点；如果与直角边平行，则点到点的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．已知正比例函数的图像与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标为 ．
10．将矩形沿向上折叠，使点落在边上的处，若，，则的长为 ．
11．一段拦水坝横断面如图所示，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，若，则坡面的长度为 m．
12．如图，中，，，，是的角平分线，则线段的长为 ．
13．如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m．
14．如图，在正方形中，P为边的中点，连接，交于点O，过点B作于点Q，则 ．
15．如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，于点，于点，连接，求证：．
19．如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是．
(1)画出，并直接写出点的坐标；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
20．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．
(1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？
(2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：）
21．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)直接写出这一函数的表达式．
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
22．如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上）
(1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____．
(2)请你在图中画出小彬站在处的影子．
(3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？
23．如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接．
(1)求反比例函数的表达式及直线的函数表达式；
(2)若，求点C的坐标；
(3)如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率．
24．综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长．
《第26-29章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C B A A D D
1．B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，即可得出答案，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
【详解】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化，
故选：．
2．B
【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可．
【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个；
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
【详解】解：在中，，，设所对边分别为，
，，，，，，
，选项A正确，不符合题意；
，
，选项B正确，不符合题意；
，选项C错误，符合题意；
，选项D正确，不符合题意；
故选C．
4．B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意；
B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意；
C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意；
D、∵，
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点是函数图象上的两点，且，
∴，原命题为假命题，不符合题意；
故选B．
5．A
【分析】本题考查正弦的定义，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握正弦的定义．
利用勾股定理求出，求出，根据，即可求出．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质，熟练掌握位似的性质、正方形的性质是解答本题的关键．由位似的性质可得，由正方形的性质可得，则，，进而可得答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
．
正方形的边长为12，
，
∴
，，
点坐标为．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
8．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，分当时，当时，两种情况，先根据直角三角形的性质和勾股定理得到，再由旋转的性质可得，解直角三角形得到，然后通过平行线构造直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，当时，
过点C作，交的延长线与H，
则，
∵在中，，，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
由旋转的性质可得，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当时，
设于点H，
∵在中，，
∴，
∴；
综上所述，点到点C的距离为或，
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．由此可解答．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即点
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都是关于原点的对称，
∴另一个交点的坐标与点关于原点对称，
∴另一交点的坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质．设，则，证明，求得，，由，列式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质得，，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡的斜坡坡度，
∴，即，
解得，， 经检验符合题意，
由勾股定理得，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线．
作于，作于，分别解直角三角形求得和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果．
【详解】解：如图，作于，作于，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
，
在中，设，
在中，，
∴，
由得，，
，
，
故答案为： 2 ．
13．
【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．
本题考查了相似三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，设，证明可求得，证明可得，即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设，
P为边的中点，
，
四边形为正方形，
，，
根据勾股定理可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：∵A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，
∴，
∴．
故答案为：6．
16．或1.5
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可．
【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，，
∴，，
∴，
∵把放大后得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算问题，熟记，的三角函数值是解题的关键．
直接代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
．
18．见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先通过两组角分别相等的三角形是相似三角形，得，则，变形得，再结合，则，即可作答．
【详解】证明：，
，
又，
，
又，
．
19．(1)见解析，
(2)
(3)
【分析】1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移规律，确定变换后的坐标即可．
（3）利用分割求面积，解答即可．
本题考查了坐标的平移，分割法计算面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下：
．
则即为所求，且．
（2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且．
（3）解：由，
故的面积为：．
20．(1)调整，使得
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出；
（2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴应该调整，使得．
（2）解：如图，过点A作于点G，则，
∵，的最大仰角为
∴的最大值为：，
∴点到桌面的最大高度为．
21．(1)
(2)
(3)不小于
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）设，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的值，根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）设，
由图象，把点代入，得：，
∴．
（2）∵；
当时，；
答：当气体体积为时，气压是；
（3）当时，，
解得，
在第一象限内，的值随着值的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于．
22．(1)先变短后变长；
(2)见解析
(3)路灯的高度是米．
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据光是沿直线传播的道理分析即可；
（2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子；
（3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长，
故答案为：先变短后变长；
（2）解：如图，线段即为所求作影子；
（3）解：如图，连接并延长交直线于点，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
即路灯的高度是米．
23．(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可；
（3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数与直线交于点，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：；
∴；
（2）设直线与轴交于点，设，
∵，
∴当时，，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴或，
∴或；
（3）设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∴，
设，
∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，
∴到，，
∴，
∵的面积为9，
∴，
∴，
整理，得：，
设，则：，
∴；
①当时，，解得：或，
∴或，
即：或，
当时，，
∴有2个不相等的实数根，
∵直线上刚好存在三个不同的P点，
∴有2个相等的实数根，
∴，解得：或；
②当时，则：，解得：或，
∴或，
当时，；
当时，；
∵直线上刚好存在三个不同的P点，
∴或，
当时，解得：或；
当，无解；
综上：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
24．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，如图所示，由矩形性质得到相关角度与边长，由三角形全等的判定得到即可得到答案；
（2）过点作交的延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定确定，再由三角形相似的判定得到，从而得证；
（3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到，再由相似比求出，过点作交于点，如图所示，先判定，再由相似三角形的判定与性质即可得到答案．
【详解】（1）解：，
证明如下：
过点作于点，过点作于点，如图所示：
则，
在正方形中，，
四边形，四边形是矩形，
∴，
设交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：在矩形中，，，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
当时，如图所示：
此时，点在上，，，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
过点作交于点，如图所示：
，，
，，
，
∴，，
，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题的关键．
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