第5-8章阶段测试卷（含解析）

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第5-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
一、单选题
1．在中，，，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为（ ）

A． B． C． D．
5．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点．若矩形的面积为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．如图，已知正方形的边长为12，点E是边上一点，以为一边作正方形，连接交于点H，若的长度为6，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
8．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中说法正确的（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
9．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
10．如图，梯形中，，，，，那么的值是 ．
11．如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
12．如图是水槽水龙头的侧面图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头．按水龙头安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道．测得，，则安装的水管的长为 ．（精确到，参考数据：，，，）
13．张大伯去年种的棵水果白菜喜获丰收．如图是随机抽测其收获的水果白菜的重量的统计图，则张大伯收获的重量低于的水果白菜约有 棵．
14．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
15．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ．
16．如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，内接于，为的直径，延长至点D，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
19．为了了解学生的睡眠情况，我校随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行了调查，将睡眠时间分为五个小组，、、、、，其中，表示学生的睡眠时间（单位：小时），并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，回答下列问题：
(1)在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为________；
(2)________；
(3)补全条形统计图；
(4)我校某校区约有学生3600人，请你估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有________人．
20．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标；
(3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值．
21．如图，是正方形的对角线，点E、F分别在边上，，延长到，且，连接．
(1)求证：；
(2)延长交于点，连接，求证：．
22．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设，
(1)求梯形的面积；
(2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)若，求线段的长．
23．请根据以下素材，完成探究任务．
飞行汽车
背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力．
建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线．
任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值；
（2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
《第5-8章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D D A C B B
1．A
【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
故选项B正确，符合题意；
∵，
∴，
故选项C错误，不符合题意；
∵
∴，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可．
【详解】解：依题意，将抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后所得的抛物线的解析式为，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题，熟练掌握平行线成比例定理是解答本题的关键．直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可．
【详解】解：∵，两条直线与这三条平行线分别交于点和，
，
又，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过作于，设，得，，可得，即得，，进而根据矩形的面积列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，设，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是矩形的对角线的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
7．B
【分析】本题考查相似判定及性质，正方形性质等．根据题意设，则，再证明，再利用相似性质计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为12，正方形，的长度为6，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断③；先根据抛物线的对称轴判断当时y的正负，进一步即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
，
∴，
∴，故①正确；
由①知：，
∴，故②正确；
∵二次函数图象的对称轴为，
∴点关于对称轴的对称点是即，
∴，故③正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，
∴当时，
，故④错误．
综上，说法正确的是：①②③．
故答案为：B．
9．且
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得且，
故答案为：且．
10．/
【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，旋转的性质，特殊角的三角函数的计算，掌握旋转的性质，特殊角的三角函数的计算是关键．
根据特殊角的三角函数的计算得到，，，将线段绕点逆时针旋转得到，则，，如图所示，过点作于点，则，得到，，，由此即可求解．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
如图所示，过点作于点，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质；过点A作于H，过点B作于，证明四边形是矩形，得到，，再求出的度数，进而求出的度数，解得到的长，进而求出的长，再解求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，过点B作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
在中，，
，
∴；
∵，排水口位于的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴安装的水管的长为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握样本估计总体的方法是解题的关键．由扇形统计图可得低于的水果白菜占总体的百分比为，再利用样本估计总计即可得．
【详解】解：由题意得低于的水果白菜占总体的百分比为，
则估计重量低于的水果白菜约有（棵），
故答案为：．
14．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，根据题意得到，求出，即可得到答案．
【详解】解∶ 设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，
根据题意得，
解得，
设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，
故选：C．
15．；5
【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为，
故答案为；；5．
16． ； ．
【分析】本题考查圆的相关以及锐角三角函数，熟练掌握圆的相关定理以及解直角三角形的应用是解题的关键．本题先得出四点共圆，可知，进一步求出；第二空主要分析出点经过的路径，才可能对症下药，进一步得出答案．
【详解】解：连接，过点作于，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
∵四点共圆，
∴,
∴,即为定值，
可知在直线上运动，
如图，经过的路径长为，
,
在中，由勾股定理得：
,
此时，
,
∴经过的路径长为．
故答案为：，．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先利用二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值进行化简，再进行加减即可．
【详解】解：
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，等边对等角得到，进而得到，圆周角定理，得到，进而得到，等量代换得到，即，即可得证；
（2）根据，得到，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
19．(1)100
(2)45
(3)见详解
(4)1260
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的样本容量；
（2）根据A组、B组的学生数及样本容量可求；
（3）根据C组所占的百分比及样本容量求出C组的学生数，据此补全条形统计图；
（4）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不少于8小时的人数．
本题考查总体、个体、样本、样本容量，条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数据之间的关系是正确解答的前提．
【详解】（1）解：在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为；
故答案为：100；
（2）∵，，
∴，；
∴；
故答案为：45；
（3）C组学生数为：（人），
补全条形统计图如下，
（4）估计该校区“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有：（人）；
故答案为：1260．
20．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可；
（3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，即，
∵，，
∴，，，
∴为等边三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
连接、，
，
∵与相似，
∴当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去），
此时点的横坐标为；
当时，，即，
∴，
过点作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入解析式可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立可得，
解得：，（不符合题意，舍去）；
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或；
（3）解：设，，，
由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，
∴，，
设直线的解析式可得，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵直线和交于点，
∴，
由①可得：，由②可得：，
∴，
整理可得：
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到，然后证明即可；
（2）由，得到，证明，由直角三角形斜边上中线的性质得到，证明，则，那么，再交叉相乘即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键．
22．(1)24；
(2)，定义域：；
(3)．
【分析】（1）过点、作，，由梯形的性质得，，由求出，然后根据梯形面积公式计算即可；
（2）由得，，，证明得
，由得，设，，代入整理可得；
（3）由，得，过点作，设面积为，由相似的面积为，然后分两种情况求解即可．
【详解】（1）过点、作，
∵梯形中，，，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴梯形面积；
（2）由得，，
，
设，
则
解得
∵，
∴
∴定义域：
（3）由，得
过点作，设面积为，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴，
①若点在边上，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若点在边延长线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，段的长为或．
【点睛】本题考查了梯形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求函数解析式及定义域等知识，难度较大，属中考压轴题．
23．（1）、；（2）
【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键．
（1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解．
（2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可．
【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：，
，
，，
分别代入，直线，
得：，，
解得：，．
（2），
，
．
∴抛物线，
令，
．
解得：，，
，
将代入直线．得：，
即，
，
即，
．
24．(1)
(2)或；
(3)或
【分析】（1）先求出，，再根据，求出，利用待定系数法即可求解；
（2）取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形是矩形，求出直线，联立，求解即可；
（3）抛物线与抛物线关于原点对称，求出的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可．
【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
，，
，
，
，
，
经过点A，B，C，
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
，，
取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
设直线且过点，
，
，
或；
（3）解：抛物线与抛物线关于原点对称，
的函数表达式为，
点F的坐标为，
，
点G的坐标为，
在x轴上取一点P，使得，此时，
设，
，
，
，
，
当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N，
设点Q的坐标为，
，，，，
∵
∴
∵
∴，
，
，
，
，，
，
，
直线与交于点H，
（舍去），
点H的坐标为，
当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时，
，
，
（舍去），
点H的坐标为，
综上所述，点H的坐标为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解直角三角形．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
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