第18章平行四边形章末检测卷（含解析）
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第18章平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
8．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．已知菱形的边长为，一个内角为，那么该菱形的面积为 ．
10．一组对边平行，另一组对边相等但不平行的四边形是等腰梯形，请尝试用研究平行四边形性质的经验探索，并写出等腰梯形的两条性质： ．
11．如图，在矩形中，对角线相交于点，矩形的面积为 ．
12．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形．
13．如图是某学校的伸缩门，伸缩门中的每一行有完全一样的菱形20个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为；校门部分打开时，每个菱形原的钝角缩小为的锐角，则校门打开的宽度约为 ．（精确到）（参考数值：，）
14．如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为 ．
三、解答题
15．如图，在中，、为边上两点，且，．
(1)求证：；
(2)四边形是矩形吗？为什么？
16．如图，在中，，，对角线相交于点．
(1)若，求的面积；
(2)若，，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由．
17．如图，在四边形中，，且交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
18．如图，在正方形中，为对角线上的一个动点，连接并延长交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
19．如图1，点在平面直角坐标系中，点到坐标轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
(1)在点，，中，是“垂点”的点为______；
(2)点是第三象限的“垂点”，直接写出的值_______；
(3)如果“垂点矩形”的面积是4，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标________；
(4)如图2，平面直角坐标系的原点是正方形的对角线的交点，当正方形的边上存在“垂点”时，求的最小值．
20．矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为底的等腰三角形，求的长．
《第18章平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C A B A A
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案．
【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为，
故选：C．
3．C
【分析】先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出．
本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，
∴；
故选A．
6．B
【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系．
由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解．
【详解】解：在四边形中，，
,
,，
时，四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：B．
7．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：，，
为三角形的中位线，
，
即，间的距离是，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，有最小值，
此时：，
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用菱形的性质．过点作于点，根据题意可知，得到，再根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，
菱形的边长为，
，
有一个内角是，
，
，
此菱形的面积为：．
故答案为：．
10．等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等
【分析】本题主要考查等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键．根据等腰梯形的性质进行判断即可．
【详解】解：等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等，
故答案为：等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等．
11．
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到是等边三角形，即可得到，根据勾股定理求出，即可求出面积．
【详解】解：在矩形中，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故矩形的面积为．
故答案为：．
12． 90 矩
【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，
根据题意可得：的面积为，
∵不变，
∴当时，面积最大，
∴，
∴是矩形，
故答案为：90，矩．
13．
【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，相交于O，
∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴校门关闭时，伸缩门的宽度为．
∵校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为，
∴，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为，
∴校门打开了．
故答案为：．
14．/
【分析】根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，分解中位线性质得出，，，在中，过点O作于点P，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵E为中点，是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在中，过点O作于点P，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
15．(1)证明见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和全等三角形的判定与性质，
（1）由四边形为平行四边形，则，由，故有，然后证得；
（2）由，证得，然后利用平行四边形的对边平行得到两个角均为直角，从而利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定定理．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴是矩形．
16．(1)的面积为
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）作于点，设，则，由勾股定理得，求得，利用平行四边形的面积公式计算即可求解；
（2）作于点，作交延长线于点，证明，推出，，设，，在、和中，利用勾股定理列式，消去和，即可即可求解．
【详解】（1）解：作于点，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，即，
∴，
∴的面积；
（2）解：作于点，作交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，，则，，
在中，①，
在中，②，
中，③，
得，
整理得④，
将①代入④得，
∴．
17．(1)证明见详解
(2)30
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据条件得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出，利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据给出条件得出是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
,
∵平分，
∴,
∵，
，
，
．
（2）解：∵
是等边三角形
由（1）得四边形是平行四边形，且，
,
∴四边形的周长为．
18．或
【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论思想是解题关键．
利用全等三角形的判定方法得出，利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当在延长线上时；②当在线段上时；分别求出即可．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
分两种情况：
①如图1，当在延长线上时，
∵为钝角，
∴只能是，设，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，当在线段上时，
∵为钝角，
∴只能是，设，则有，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上：或．
19．(1)
(2)
(3)
(4)8
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的面积公式，理解新定义和应用新定义的能力，解答本题的关键是用方程的思想解决问题．
（1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论；
（2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；
（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；
（4）先确定出直线的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
点不是“垂点”，
，
，，
是“垂点” ，
，
，，
，
点不是“垂点”，
故答案为: ；
（2）解：∵点是第三象限的“垂点”，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：设第二象限内的“垂点”坐标为，
根据题意得，
解得，
∴“垂点”坐标为，
故答案为：；
（4）解：设点（），
四边形是正方形，
，直线的解析式为，
设边上的 “垂点” 的坐标为，
，
，
，
，
，
，
的最小值为4，
的最小值为．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长；
（3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
（2）解：如图2，，，三点在同一条直线上，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是的中点，
，
在矩形中，
，，，
，
，
如图，连接，
是的中点，，
，
，
点是的中点，
是的中位线
，，
由翻折可知：，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
；
（3）解： 如图，延长交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
当以为底的等腰三角形时，则，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
则可得，
可得，
，
，
，
在中，，
即，
解得，即．
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第18章平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
4．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则菱形的边长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
8．如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．已知菱形的边长为，一个内角为，那么该菱形的面积为 ．
10．一组对边平行，另一组对边相等但不平行的四边形是等腰梯形，请尝试用研究平行四边形性质的经验探索，并写出等腰梯形的两条性质： ．
11．如图，在矩形中，对角线相交于点，矩形的面积为 ．
12．如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形．
13．如图是某学校的伸缩门，伸缩门中的每一行有完全一样的菱形20个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为；校门部分打开时，每个菱形原的钝角缩小为的锐角，则校门打开的宽度约为 ．（精确到）（参考数值：，）
14．如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为 ．
三、解答题
15．如图，在中，、为边上两点，且，．
(1)求证：；
(2)四边形是矩形吗？为什么？
16．如图，在中，，，对角线相交于点．
(1)若，求的面积；
(2)若，，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由．
17．如图，在四边形中，，且交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
18．如图，在正方形中，为对角线上的一个动点，连接并延长交射线于点，连接．当为等腰三角形时，求的度数．
19．如图1，点在平面直角坐标系中，点到坐标轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
(1)在点，，中，是“垂点”的点为______；
(2)点是第三象限的“垂点”，直接写出的值_______；
(3)如果“垂点矩形”的面积是4，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标________；
(4)如图2，平面直角坐标系的原点是正方形的对角线的交点，当正方形的边上存在“垂点”时，求的最小值．
20．矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为底的等腰三角形，求的长．
《第18章平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C A B A A
1．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
，
，
，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案．
【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为，
故选：C．
3．C
【分析】先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出．
本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
4．C
【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，
∴；
故选A．
6．B
【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系．
由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解．
【详解】解：在四边形中，，
,
,，
时，四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：B．
7．A
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理即可得出结果．熟记三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】解：，，
为三角形的中位线，
，
即，间的距离是，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，有最小值，
此时：，
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用菱形的性质．过点作于点，根据题意可知，得到，再根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，
菱形的边长为，
，
有一个内角是，
，
，
此菱形的面积为：．
故答案为：．
10．等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等
【分析】本题主要考查等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键．根据等腰梯形的性质进行判断即可．
【详解】解：等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等，
故答案为：等腰梯形同一底上的两个角相等，等腰梯形的对角线相等．
11．
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到是等边三角形，即可得到，根据勾股定理求出，即可求出面积．
【详解】解：在矩形中，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故矩形的面积为．
故答案为：．
12． 90 矩
【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，
根据题意可得：的面积为，
∵不变，
∴当时，面积最大，
∴，
∴是矩形，
故答案为：90，矩．
13．
【分析】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，相交于O，
∵四边形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴校门关闭时，伸缩门的宽度为．
∵校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为，
∴，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为，
∴校门打开了．
故答案为：．
14．/
【分析】根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，分解中位线性质得出，，，在中，过点O作于点P，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵E为中点，是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵M为的中点，N为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
在中，过点O作于点P，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
15．(1)证明见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和全等三角形的判定与性质，
（1）由四边形为平行四边形，则，由，故有，然后证得；
（2）由，证得，然后利用平行四边形的对边平行得到两个角均为直角，从而利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定定理．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴是矩形．
16．(1)的面积为
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）作于点，设，则，由勾股定理得，求得，利用平行四边形的面积公式计算即可求解；
（2）作于点，作交延长线于点，证明，推出，，设，，在、和中，利用勾股定理列式，消去和，即可即可求解．
【详解】（1）解：作于点，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，即，
∴，
∴的面积；
（2）解：作于点，作交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
设，，则，，
在中，①，
在中，②，
中，③，
得，
整理得④，
将①代入④得，
∴．
17．(1)证明见详解
(2)30
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据条件得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出，利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据给出条件得出是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
,
∵平分，
∴,
∵，
，
，
．
（2）解：∵
是等边三角形
由（1）得四边形是平行四边形，且，
,
∴四边形的周长为．
18．或
【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论思想是解题关键．
利用全等三角形的判定方法得出，利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当在延长线上时；②当在线段上时；分别求出即可．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
分两种情况：
①如图1，当在延长线上时，
∵为钝角，
∴只能是，设，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，当在线段上时，
∵为钝角，
∴只能是，设，则有，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上：或．
19．(1)
(2)
(3)
(4)8
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的面积公式，理解新定义和应用新定义的能力，解答本题的关键是用方程的思想解决问题．
（1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论；
（2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；
（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；
（4）先确定出直线的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
点不是“垂点”，
，
，，
是“垂点” ，
，
，，
，
点不是“垂点”，
故答案为: ；
（2）解：∵点是第三象限的“垂点”，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：设第二象限内的“垂点”坐标为，
根据题意得，
解得，
∴“垂点”坐标为，
故答案为：；
（4）解：设点（），
四边形是正方形，
，直线的解析式为，
设边上的 “垂点” 的坐标为，
，
，
，
，
，
，
的最小值为4，
的最小值为．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长；
（3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
（2）解：如图2，，，三点在同一条直线上，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是的中点，
，
在矩形中，
，，，
，
，
如图，连接，
是的中点，，
，
，
点是的中点，
是的中位线
，，
由翻折可知：，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
；
（3）解： 如图，延长交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
当以为底的等腰三角形时，则，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
则可得，
可得，
，
，
，
在中，，
即，
解得，即．
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