第9章中心对称图形-平行四边形章末检测卷（含解析）

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第9章中心对称图形-平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图在中，点，分别是，的中点，，则的长（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
4．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一块在电脑屏幕上出现的矩形色块由个颜色不同的正方形组成，设中间小正方形边长为，这个矩形色块的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　）
A． B． C． D．
7．如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
8．已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，若，则 ， ．
10．已知菱形的面积为，一条对角线的长为，则另一条对角线长为 ，边长为 ，高为 ．
11．如图，在平行四边形中，，相交于点，点是的中点，若，则的长是 cm．
12．如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是 ．
13．如图，四边形和都是边长为2的正方形，且、相交于点，现将正方形绕点旋转，则两个正方形重叠部分的面积为 ．
14．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，连接，交于点G，若平分，，则的长为 ．
三、解答题
15．如图，在中，中线相交于点分别为的中点．求证：和互相平分．
16．如图，将一张矩形纸片沿直线折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，交于点M，交于点N．求证：四边形是菱形．
17．如图，在中，，，点在边上，连接．
(1)如图①，过点作交的延长线于点，且，若，求的长；
(2)如图②，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，试猜想、和之间的数量关系，并说明理由．
18．如图，四边形是正方形，通过旋转可得到，．

(1)指出旋转中心和旋转角；
(2)求的长度；
(3)与的位置关系如何？
19．矩形中，，点为对角线上一点，过点作于点交边于点，将沿折叠得，连接．
(1)如图1，若点落在边上，求证：；
(2)如图2，若三点在同一条直线上，求的长；
(3)若是以为底的等腰三角形，求的长．
20．如图1，点在平面直角坐标系中，点到坐标轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
(1)在点，，中，是“垂点”的点为______；
(2)点是第三象限的“垂点”，直接写出的值_______；
(3)如果“垂点矩形”的面积是4，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标________；
(4)如图2，平面直角坐标系的原点是正方形的对角线的交点，当正方形的边上存在“垂点”时，求的最小值．
21．课本再现
在学行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图1，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，．
知识应用
（2）在中，点为的中点．延长到，使得，使得，连接．如图2，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论
《第9章中心对称图形-平行四边形章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A A C B C B
1．B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查三角形的中位线定理，运用了“三角形的中位线等于第三边的一半”．根据三角形的中位线定理进行求解即可．
【详解】解：∵在中，D、E分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键．
根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定．
【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意．
故选A．
4．A
【分析】本题考查的是矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据矩形与折叠的性质可得出，，利用证明，设，则，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵翻折，
∴，，，
在与中，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选A．
5．C
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设右下方小正方形边长为，则，，根据得，解出的值，进而求出，，即可得解．
【详解】解：设右下方小正方形边长为，由题意则有，，
，
，
解得：，
，
故左下方正方形的边长为，左上方正方形的边长为，
，
这个矩形色块的面积是：，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可．
【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形，
则：，
∴，
∴；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确．
【详解】解：方案甲，连接，如图所示：
∵四边形是平行四边形，O为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故方案乙正确；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解．
【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴旋转6次为一个循环，
，
第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴，
点A坐标为，
故选：．
9． /度 /度
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握其性质是关键．
根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ①；②．
10． /
【分析】本题考查的知识点：（1）菱形的面积公式：两条对角线的积的一半或是边长乘以高；（2）菱形的对角线互相垂直平分；（3）勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．
根据菱形的性质推出另一条对角线长，然后根据勾股定理可求出菱形的边长，再根据面积等于边长乘以高求高即可．
【详解】解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，得
另一条对角线长为：；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴边长为：，
高为：
故答案为：24，13，．
11．3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．
利用平行四边形的性质得出是的中位线，利用三角形中位线的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
，点是线段的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，分别求出点P恰好在线段上和直线恰好经过点C时m的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当点P恰好在线段上时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
如图所示，当直线恰好经过点C时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是，
故答案为：．
13．1
【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
利用可证明，则，由此可得四边形面积，即可求解．
【详解】解：如图，
∵O为正方形的对角线的交点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴两个正方形重叠部分的面积
．
故答案为：1．
14．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，过点F作于点M，易证四边形是矩形，得到，先利用勾股定理求出，设，则，由，推出，结合矩形的性质，推出，得到，进而求出，再求出，利用勾股定理求出，利用角平分线的定义结合矩形的性质易证，推出，即可得到结果．
【详解】解：如图，过点F作于点M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．证明过程见详解
【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
如图所示，连接，根据中位线的判定和性质得到，，可证四边形是平行四边形，得到，由此即可求解．
【详解】证明：如图所示，连接，
∵点是的中点，
∴，
同理，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴和互相平分．
16．见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
先根据矩形的性质以及折叠的性质证2四边形是平行四边形，再由翻折得即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴,
由翻折性质可得：，
∴,
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
17．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）等边对等角，推出为含30度角的直角三角形，求出的长，利用勾股定理求出的长即可；
（2）根据旋转的性质，推出，得到，推出，利于勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，如图：
∵旋转，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
18．(1)旋转中心是点，旋转角是
(2)
(3)
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意通过旋转可得到，得到旋转中心是点，旋转角为；
（2）根据题意得到，，得到；
（3）延长交于点，根据旋转的性质得到，得出，得到，继而得到
【详解】（1）解：通过旋转可得到，
旋转中心是点，
正方形的边与重合，
旋转角是；
（2）解：根据题意得到，
四边形是正方形，
，
；
（3）解：如图，延长交于点，
通过旋转可得到，
，
，
，
，
．
19．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和翻折的性质证明，即可解决问题；
（2）结合（1）的方法，再利用勾股定理即可求的长；
（3）当是以为底的等腰三角形时，即当时，证明，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
；
（2）解：如图2，，，三点在同一条直线上，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
是的中点，
，
在矩形中，
，，，
，
，
如图，连接，
是的中点，，
，
，
点是的中点，
是的中位线
，，
由翻折可知：，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
；
（3）解： 如图，延长交于点，
，，
，
，
四边形为矩形，
当以为底的等腰三角形时，则，
，，，
，
，
设，则，
在中，，
则可得，
可得，
，
，
，
在中，，
即，
解得，即．
20．(1)
(2)
(3)
(4)8
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的面积公式，理解新定义和应用新定义的能力，解答本题的关键是用方程的思想解决问题．
（1）根据“垂点”的意义直接判断即可得出结论；
（2）根据“垂点”的意义建立方程即可得出结论；
（3）根据“垂点”的意义和矩形的面积建立方程即可得出结论；
（4）先确定出直线的解析式，利用“垂点”的意义建立方程，利用非负性即可确定出的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
点不是“垂点”，
，
，，
是“垂点” ，
，
，，
，
点不是“垂点”，
故答案为: ；
（2）解：∵点是第三象限的“垂点”，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：设第二象限内的“垂点”坐标为，
根据题意得，
解得，
∴“垂点”坐标为，
故答案为：；
（4）解：设点（），
四边形是正方形，
，直线的解析式为，
设边上的 “垂点” 的坐标为，
，
，
，
，
，
，
的最小值为4，
的最小值为．
21．（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到，证明，即可证明；
（2）过点作交于，连接，则，先证明是等边三角形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，接着证明四边形是平行四边形，得到互相平分，则，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图所示，过点作交于，连接，
，
，
，即，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
互相平分，
点为的中点，
三点共线，
，
在中，
，
，
，
．
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