第10章二元一次方程组章末检测卷（含解析）

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第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列哪一组，的值不是方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ）
A．由①，得 B．由②，得
C．由①，得 D．由②，得
4．已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知是关于，的二元一次方程，则的值是 ．
8．如果是方程的一组解，那么代数式 ．
9．已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为 ．
10．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神，我校决定购买A、B两种数学类图书，若购买3本A种图书和2本B种图书共需130元；若购买5本A种图书和4本B种图书共需230元．则购买9本A种图书和10本B种图书一共需要 元．
11．对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ．
12．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ．
三、解答题
13．解下列方程组
(1)
(2)
14．若关于的二元一次方程组，满足，求的值．
15．甲乙两同学同时解方程，甲看错了a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程的解为，计算的值．
16．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
(1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽：
(2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗 请说明理由．
17．某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．如果这栋教学楼每班预计招收49名学生，那么建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
(3)学校安排了值周教师，正常情况下，一道正门每分钟出门人数可增加人，一道侧门每分钟出门人数可增加人，此时，同时打开一道正门和两道侧门每分钟可通行335人，求a的值．
18．新年来临，爸爸想送小明一个书包和一双运动鞋作为新年礼物，爸爸对小明说，我在甲商场，乙商场发现同款的运动鞋的单价相同，书包单价也相同，运动鞋和书包单价之和是452元，且运动鞋的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求运动鞋和书包单价各是多少元？
(2)恰好两家商场都在搞促销活动，乙商场所有商品打八折销售，甲商场全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他们只带了400元，如果只在一家购买两样物品，你能帮助他们选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择在哪一家购买更省钱？
19．神舟启新程，天宫再会师．北京时间2024年10月30日凌晨，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．在护航任务过程中，来自河南众多航天军工企业的一批“科技元素”熠熠生辉，再次贡献了“河南力量”！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：
小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元．
小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元．
求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
20．阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只．
①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）．
②根据题意，列出一个含有x，y的方程________．
(2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由．
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《第10章二元一次方程组章末检测卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C B C A B
1．B
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 最高次数是，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故该选项符合题意；
C．含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
D．含有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把四个选项中的x、y的值代入方程中，看方程左右两边是否相等即可．
【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意；
B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则是不方程的解，符合题意；
D、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了等式的性质．根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可．
【详解】解：A、由①，得，故选项A变形正确，不符合题意；
B、由②得，故选项B变形错误，符合题意；
C、由①，得，故选项C变形正确，不符合题意；
D、由②，得，故选项D变形正确，不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中两方程x与y的系数特征，利用加减消元法消去x或y即可．
【详解】解：二元一次方程组，用加减消元法解方程组或．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即可。
【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意，得：
，
故选A．
6．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，
根据两个二元一次方程的公共解是二元一次方程组的解进行判断即可．
【详解】解：由二元一次方程组的解的定义可知，这个方程组的解为.
故选：B．
7．
【分析】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义得到，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的一组解，得到，整体代入即可求解．
【详解】解：∵是方程的一组解，
∴．
∴
．
故答案为：．
9．0或2
【分析】本题考查了解二元一次方程组，把a看作常数，利用加减消元法求解，根据求出的方程组的解是正整数，a为非负整数，得出或4，求解即可．
【详解】解：，
得，，
解得，
将代入①得，
解得，
∵方程组有正整数解，a为非负整数，
∴或4，
解得或2，
故答案为：0或2．
10．470
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据购买3本A种图书和2本B种图书共需130元；若购买5本A种图书和4本B种图书共需230元，列出，再解出，即可作答．
【详解】解：依题意，设A种图书和A种图书的单价为元，元，
则，
解得，
则（元），
∴购买9本A种图书和10本B种图书一共需要元．
故答案为：
11．或
【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断．
【详解】解：当，，即，时，
解得：
当，，即，时，
解得：，
当，，即，时，
解得： （舍去）
当，，即，时，
解得：（舍去）
综上所述，或.
故答案为：或．
12． 4 5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，和都是方程的解，分别代入得到关于的方程组，再解方程组即可求出的值．
【详解】解：将和分别代入，得，
解得：，
的值是4，的值是5．
故答案为：4；5．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程的解为．
14．3
【分析】利用整体思想表示，结合已知，构造方程解答即可．
本题考查了整体思想解方程组，解方程，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：由，两式相减，得，
又，
故，
解得．
15．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及负指数幂、零次幂，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后求出a、b的值，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
∴．
16．(1)这个长方形纸片的长为，宽为
(2)正确，理由见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键．
（1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可；
（2）根据题意，列二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为，
∴，
∴，
∴，
∴这个长方形纸片的长为9，宽为6．
（2）解：正确．理由如下：
根据题意，得，，
解得．
∴大正方形的面积为．
17．(1)平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生
(2)建造的4道门符合安全规定，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用等知识．
（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可．
（2）先计算出总人数，再计算出拥挤时5分钟4道门能通过的人数，然后相比即可得出答案．
（3）根据题意列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生
由题意，得
解得
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生．
（2）解：这栋楼最多有学生 （名）
拥挤时5分钟4道门能通过：（名）
∵，
∴建造的4道门符合安全规定．
（3）解：由题意得：，
∴
18．(1)运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元
(2)可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．
（1）设运动鞋的单价为元，书包的单价为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，分别求出在甲商场和乙商场购买两样物品的金额，比较两种计算结果和400元三者的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：设运动鞋的单价为元，书包的单价为元，
由题意得，，
解得：，
答：运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元．
（2）解：若在乙商场购买，则花费（元），
若在甲商场购买，先购买运动鞋花费360元，返90元购物券，再加2元买书包，
则花费（元），
，
如果只在一家购买两样物品，可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱．
19．甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程组成为解题的关键．
设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，然后根据小星、小红的购买情况列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元，
根据题意得：，
解得．
答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元．
20．(1)①，；②
(2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
(3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解．
（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
买了只小鸡，买小鸡花了文钱．
故答案为：；．
②根据题意得：．
故答案为：．
（2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只，
根据题意得：，
解得：，
．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
（3）解：根据题意得：，
化简得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，舍去．
故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
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