第10章分式章末检测卷（含解析）

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第10章分式章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．当时，分式的值为（ ）．
A．3 B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式变形中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．缩小为原来的 D．不变
5．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成此项工作．设甲志愿者计划完成此项工作需用x天，用方程表示问题中的数量关系为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知一组数满足下面关系：若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．当m为 时，分式无意义．
8．已知关于这的方程无解，则的值为 ．
9．当 时，方程会产生增根．
10．小红家距学校，若小红步行上学的速度为，则小红步行的时间为 ；若小红计划用到学校，则小红步行的速度为 ．上述式子中，是分式的有 ．
11．若，则整式A、B分别为 、 ．
12．某项工作由甲、乙两个人合做需6天完成，若甲单独做需8天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程 ．
13．若关于的方程有无数多个解，则 ．
14．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论：
①第3次操作后得到的分式可化为．
②第4次操作后的分式可化为．
③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个．
④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且．
以上四个结论中正确的有 ．（只填写序号）
三、解答题
15．解方程：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示．每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)这个“接力游戏”中第一个计算错误的同学是______；
(2)请你写出正确的解答过程；
(3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
19．国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等．
(1)请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元：
(2)若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案：
甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折．
乙：一律打8折出售．
若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元．
①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？
20．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”．
(1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值．
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《第10章分式章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B D A A A
1．D
【分析】题目主要考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可．
【详解】解：，
当时，原式，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
先计算乘方，再计算除法，即可．
【详解】解：
故选：B
3．D
【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，直接由分式性质逐项验证即可得到答案，熟记分式基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、若同号时，才有，当异号时，分式变形错误，不符合题意；
B、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意；
C、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意；
D、由分式基本性质可知变形正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
用和代替式子中的和，化简即可得出结论．
【详解】解：由题意得，
分式的值扩大为原来的倍，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，关键根据工程问题常用的等量关系“工效×时间=工作总量”列方程求解．
由题意可得甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲工作量+乙工作量=1，列出方程即可．
【详解】由已知甲志愿者计划完成此项工作需x天，因为提前3天完成此项工作，所以甲的工作时间为天，乙是第三个工作日起加入，所以乙的工作时间为天，甲和乙的工作效率相同，每天都做，则，
故选A．
6．A
【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，求出前几个数值，找到规律，进行判断即可．
【详解】解：，则：
，
，
∴的值，以，三个为一组，进行循环，
∵，
∴的值为，即：；
故选A．
7．/
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此可得答案．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
8．或
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于的方程无解，
∴当整式方程无解时，，解得，
当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
9．
【分析】此题考查了分式方程的增根问题．把分式方程化为整式方程，把增根代入即可求出答案．
【详解】解：
去分母得到，
把代入得到，
解得，
故答案为：
10． ，
【分析】本题考查了分式的定义，形如的形式，A，B都时整式，且中含有字母的式子叫做分式．
根据时间路程速度和速度路程时间列式，然后根据分式的定义求解即可．
【详解】∵小红家距学校，若小红步行上学的速度为，
∴小红步行的时间为；
若小红计划用到学校，
∴小红步行的速度为；
∴上述式子中，是分式的有，．
故答案为：；；，．
11． 4
【分析】题目主要考查分式的加减运算及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．
根据题意计算分式的加法得出，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即
∴，
解得：，
故答案为：；4．
12．
【分析】本题主要考查分式方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键，根据题意得出甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：，列出方程即可．
【详解】解：甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：，
∵甲、乙两个人合做6天完成，
∴所列方程为：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
整理得：，
∵方程有无数多个解，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．①②④
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论．
【详解】解：第3次操作后得到的分式为，
，故①正确；
第4次操作后得到的分式为，
，故②正确；
第5次操作后得到的分式为，
，
又第5次操作后得到的分式可以化为整数，
是20的因数，
，
，
又a为正整数，
，
a的正整数值共有9个，故③不正确；
经过n次操作后得到的分式为，
由题意得，，
整理得：且，
，，
，
，
又a为正整数，
，
为正整数，
是9的倍数，
或，
当时，，此时，舍去；
当时，，此时；
满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
15．无解
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程无解．
16．化简结果为，值为4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把三个分式通分，再把分子去括号后合并同类项并分解因式，接着把分子与分母约分化简，再求出，并代入化简结果中求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
17．(1)乙；
(2)，过程见解析；
(3)当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则．
（）观察四人的计算过程即可作出判断；
（）按照分式的混合运算顺序正确计算即可；
（）使分式有意义的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可．
【详解】（1）解：乙同学去括号时，没有变性质符号，
故答案为：乙；
（2）解：原式
；
（3）解：由于且，
∴且，
∴；
当时，
原式．
18．种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，且符合题意，
则，
∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料．
19．(1)甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元
(2)①
②小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．
（1）设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，根据题意得，解得，得到，即可得到答案．
（2）①根据题意列出函数解析式即可；
②分别求出所需费用，再比较大小即可．
【详解】（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；
（2）解：①根据题意得当时，，
当时，
；
②小王想购买90个这种周边产品，
从甲批发商购买所需费用（元），
从乙批发商购买所需费用（元），
，
小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．
20．(1)是
(2)①；②A的值为1或3或4
(3)
【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可；
（2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式是分式的“友好分式”；
故答案为：不是．
（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
．
②∵，
∵整数x使得分式A的值是正整数，
∴，，2，
当时，，
当时，，
当时，，
综上分析可知：A的值为1或3或4．
（3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则：
，
∴
，
∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
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