2024-2025学年广东省佛山市南海外国语高级中学高二下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市南海外国语高级中学高二下学期4月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.数列，，，，的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
5.设是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示，在时间段，，，，，上的平均速度分别为，则三者的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.设数列的前项和为，且为常数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
10.设数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为等比数列
C. D.
11.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线方程为 ．
13.已知为等比数列的前项和，，，则的值为 ．
14.意大利数学家斐波那契年年经过长时间研究兔子繁殖的数量发现，其数值满足某种规律，他将这些数据罗列出来，写成数列形式：，，，，，，，通过探索和不懈的努力，斐波那契得到了其通项公式为，同时发现这一数列的个位数是以为周期变化的，故此数列称为斐波那契数列，今天，我们借助意大利数学家斐波那契对人类的此项贡献，求解的值的个位数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在等差数列中，已知公差，．
判断和是否是数列中的项．如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，且在处的切线斜率为．
求实数的值；
判断函数的单调性．
17.本小题分
数列满足：，，等比数列的前项和为，，．
求数列，的通项公式；
若数列的前项和为，求．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，四边形是菱形，且，，．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
记，证明：．
参考答案
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15.等差数列中，公差，，
，，
，
令，，不是数列中的项，
令，，是数列中的项，是第项
16.因为函数，求导得，
在处的切线斜率为，即，，
解得；
由可知，求导，
令，解得；令，解得．
函数在上单调递增，在上单调减．
17.因，
则当且时，，
则，
由累加法可得，
又，则，
又当时，也满足上式，故，；
因，则，
两式作差得，
则，，，
因数列为等比等比数列，则公比，且，
又，得，则，
故，．
由可知，
则，
则，
由两式相减可得，，
故．
18.取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又四边形是菱形，且，所以，
故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，易知，
则，，，，，
所以，，
得到，故，，
得到，所以，
又，平面，平面，，
平面．
假设存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设，，则，
所以，，即，
所以，，
设平面的法向量为，
则即，所以
令，得，所以，
又平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去，
所以，存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
点为线段的中点．
19.因为，所以当时，，
两式相减得，即．
累乘得．
经检验也符合上式，所以．
因为，所以，
所以，
假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，
显然是的正约数，又因为，所以，所以或，
当，即时，，
当，即时，．
所以，存在正整数，使得成等差数列，
此时或．
由题意知，，
当时，，不等式成立．
当，因为
，
所以
．
因为，所以，
所以时，，
综上，．

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