2024-2025学年广东省惠州市惠州中学高二下学期4月期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年广东省惠州市惠州中学高二下学期4月期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-25 18:00:56 | ||
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文档简介
2024-2025学年广东省惠州市惠州中学高二下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
2.可以表示为 ．
A. B. C. D.
3.复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.下表是离散型随机变量的概率分布，则( )
A. B. C. D.
5.如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
7.某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知圆，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 圆关于直线对称
C. 若直线被圆截得的弦长为，则
D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11.已知在的二项展开式中，第项为常数项，则( )
A. B. 展开式中系数的绝对值最大的项是第项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若样本数据的平均数为，则数据，，，，的平均数为
13.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．
14.已知，则：被除的余数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，其导函数为，且．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
18.本小题分
已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．
求点的轨迹方程；
经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数，
若恒成立，求实数的取值范围；
设函数，讨论的单调性；
设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，，
当时，，符合上式，
．
由得，，
．
16.由题意：，，
，，
又，，则切线方程为：．
由可知：，
由或；由，又；
在，上单调递增，在上单调递减．
则的极大值为，的极小值为，且，，故，．
17.由题知分别为的中点，
所以是的中位线，即，
又平面，平面，
所以平面．
平面，而，平面，
所以，，由于四边形是正方形，所以，
所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，又，分别为的中点，
则，
所以，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，，，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，，则，
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以，即平面与平面夹角的大小为．
18.点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
19.易知
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
所以的最小值为
由恒成立知，，
故．
由题知，定义域为，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
显然，
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点．
所以关于的方程，即有两个不同的根．
由题知，，
得，
得，
由得，
不妨设，记
令，则，
所以在上单调递增，所以
则，即，
所以
因为，利用基本不等式时，，故等号取不到，
所以，即
令，则在上单调递增．
又，
所以，
即，所以；
两边同时取对数可得，得证．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
2.可以表示为 ．
A. B. C. D.
3.复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.下表是离散型随机变量的概率分布，则( )
A. B. C. D.
5.如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
7.某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知圆，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 圆关于直线对称
C. 若直线被圆截得的弦长为，则
D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11.已知在的二项展开式中，第项为常数项，则( )
A. B. 展开式中系数的绝对值最大的项是第项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若样本数据的平均数为，则数据，，，，的平均数为
13.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．
14.已知，则：被除的余数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，其导函数为，且．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
18.本小题分
已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．
求点的轨迹方程；
经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数，
若恒成立，求实数的取值范围；
设函数，讨论的单调性；
设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，，
当时，，符合上式，
．
由得，，
．
16.由题意：，，
，，
又，，则切线方程为：．
由可知：，
由或；由，又；
在，上单调递增，在上单调递减．
则的极大值为，的极小值为，且，，故，．
17.由题知分别为的中点，
所以是的中位线，即，
又平面，平面，
所以平面．
平面，而，平面，
所以，，由于四边形是正方形，所以，
所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，又，分别为的中点，
则，
所以，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，，，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，，则，
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以，即平面与平面夹角的大小为．
18.点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
19.易知
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
所以的最小值为
由恒成立知，，
故．
由题知，定义域为，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
显然，
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点．
所以关于的方程，即有两个不同的根．
由题知，，
得，
得，
由得，
不妨设，记
令，则，
所以在上单调递增，所以
则，即，
所以
因为，利用基本不等式时，，故等号取不到，
所以，即
令，则在上单调递增．
又，
所以，
即，所以；
两边同时取对数可得，得证．
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