2024-2025学年广东省汕头市潮阳第一中学高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市潮阳第一中学高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.在等比数列中，，，则 ．
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
6.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期现有一把折扇，其结构如图完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为( )
A. B. C. D.
7.年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的哪吒之魔童闹海、唐探、重启未来及蛟龙行动为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：哪吒之魔童闹海不排第一场，重启未来不排最后一场，蛟龙行动和重启未来必须连续安排，则不同的安排方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有( )
分组 频数 频率
女志愿者考核成绩频率分布表
A. 被抽取的男女志愿者人数均为
B. ，，
C. 样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为和
D. 样本中男志愿者考核成绩的第百分位数为
10.已知曲线，则以下说法正确的是( )
A. 点在曲线内部 B. 曲线关于原点对称
C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是
11.已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则( )
A. 函数为偶函数 B. 是的一个周期
C. 的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ，用数字作答
13.函数在上的最小值为 ．
14.正方体的棱长为，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，若．
求角的大小；
若，点是边上的一点，平分，且，求的面积．
16.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
求，的通项公式；
若，求数列的前项和，并求证：．
17.本小题分
在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数在上恰有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，点在点的左侧
求曲线的方程；
若直线与圆相切，且与曲线交于，两点点在轴左侧，点在轴右侧
(ⅰ)若直线与直线和分别交于，两点，证明：；
(ⅱ)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
参考答案
1.
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14.
15.由余弦定理得：，
整理可得：，
，又，
．
由正弦定理得：，
，
平分，
，又，
，
，，
．
16.因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为，
由已知条件可得，，，
则有，解得
故，；
由可知，
则，
因为，所以，故；
又由，得，即数列单调递增，故，
综上，可得，证毕．
17.因为，，，所以，
所以，
在中，根据正弦定理得，
又，所以，所以，
因为，
所以，所以，所以，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
取中点，连接，因为为的中点，
所以，，
因为，即，所以，
因为为等边三角形，且，所以，，
又，所以，所以，
以为原点，分别以为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为．
19.设圆，的交点为，则，，
因为，所以，
故点的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线的方程为
要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合．
设，，其中，
由条件，直线的斜率存在，设的方程为
因为直线与圆相切，
所以，即
联立，消去并整理得，
所以
从而线段的中点横坐标为
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
(ⅰⅰ)由条件，，即，
所以，
由题意知，，
所以
，
即为定值
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