2024-2025学年广东省东莞市厚街中学高二下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市厚街中学高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 有个极值点 B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值 D. 在上单调递减
4.已知的二项式系数之和为，则其展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
5.年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，湖北省分别与湖南安徽陕西江西四省交界，且湘皖陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为( )
A. B. C. D.
7.已知，则被除的余数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有不同的球个，其中红球个，黄球个，绿球个，则下列说法正确的是( )
A. 从中任选个球，有种不同的选法
B. 若每种颜色选出个球，有种不同的选法
C. 若要选出不同颜色的个球，有种不同的选法
D. 若要不放回地依次选出个球，有种不同的选法
10.已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在区间上单调递减
C. 过点能作两条不同直线与相切
D. 函数有个零点
11.若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”下列四个函数中，存在“二倍阶值点”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ； ．
13.的展开式中，常数项为 ．
14.设点，分别是曲线和直线上的动点，则，两点间的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求在区间上的最大值和最小值．
若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
设已知．
当时，求的展开式中项的系数；
若，求，，，，中的最大值．
18.本小题分
现有个不同的小球放入编号分别为，，的三个不同盒子．
当每个盒子的球数大于等于时，求共有多少种不同放法；用数字作答
当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；用数字作答
当每个盒子的球数不小于时，求共有多少种不同放法；用数字作答
若将题干中“个不同的小球”改为“个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于时，共有多少种不同放法？用数字作答
19.本小题分
在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点，飞机降落曲线大致为，其中单位：表示飞机距离着陆点的水平距离，单位：表示飞机距离着陆点的竖直高度假设飞机开始降落时的竖直高度为，距离着陆点的水平距离为，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，且飞机开始降落和落地时的降落曲线均与水平方向的直线相切．
求降落曲线；
若飞机开始降落时的水平速度，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度即关于降落时间单位：的导函数的导数的绝对值不超过，求开始下降点所能允许的最小值．
参考答案
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14.
15.解：，则，
因函数在处取得极值，
则，得
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故．
由可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值．
令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为．
16.解：由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
17.解：当时，中项得系数为，的系数为，
所以的展开式中项的系数为；
由，
，，
又，
所以，解得：，
假设第项系数最大，
即，即
可得：，
即第项系数最大，也即最大；
18.解：当每个盒子的球数大于等于时，根据分步计数原理共有种不同放法；
当每个盒子的球数不小于它的编号数时，号盒个球，号盒个球，号盒个球，共有种不同放法；
当每个盒子的球数不小于时，共有三类：第一类，一盒个球，其余两盒各个球，有种；第二类，一盒个球，一盒个球，一盒个球，有种；第三类，每盒个球，有种，所以共有不同放法；
在个相同的小球中间个空插入个挡板，共有种不同放法．
19.解：由求导则，
由题意可知，，即
解得，．
则降落曲线
由可知，，，
设飞机降落时间为，则，
则，，
，
，，
当或时，取最大值，故，
可得．
所以飞机开始下降时距离着陆点水平距离的最小值为米．

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