2024-2025学年山东省菏泽市单县第一中学高一下学期第二次阶段性考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽市单县第一中学高一下学期第二次阶段性考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. B. C. D.
4.已知在四边形中，，，，则四边形为( )
A. 梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
5.已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且，有下列命题：若，则；若，则；若，且，，则；若，且，，则，其中真命题的个数是
A. B. C. D.
6.已知复数和，满足，则( )
A. B. C. D.
7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧上，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角所对的边分别为，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，则外接圆半径为
C. 若，则为直角三角形
D. 若，是钝角三角形
11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图甲，图乙是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的( )
A. 高为 B. 体积为
C. 表面积为 D. 内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为，则圆柱的体积为 ．
13.已知复数，，在复平面内对应的点分别为、、，若是钝角，则实数的取值范围为 ．
14.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
没有水的部分始终呈棱柱形
水面所在四边形的面积为定值
当容器倾斜如图所示时，为定值
当容器倾斜如图所示时，为定值
其中所有正确命题的序号是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在棱上，平面．
试确定点的位置，并说明理由；
求四棱锥的表面积．
16.本小题分
如图，平面，分别为的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
若，且，求；
若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，点在棱上，底面，．
若，证明：；
若点到平面的距离为，求的长．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
参考答案
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15.解：点为的中点．理由如下：如图，连接设，
则点为的中点，连接平面，平面，
平面平面，．
在中，为的中点，为的中位线，
点为的中点．
底面，又底面是边长为的正方形，
，因为底面，又平面，
则，即直角三角形，又，
则，
则，又，
则为直角三角形，则．
综上四棱锥的表面积为．
16.解：分别为的中点，
．
又，
．
又不在平面内，在平面内，
平面．
连接．
为的中点，且．
平面平面，
，
，
，
，平面，
平面，
平面，
由有，
又四边形为平行四边形，
，
，平面．
平面．
为和平面所成的角．
由得，
在中，，
和平面所成角的正弦值为．
17.解：因为，且，所以设，
所以，
解得，
所以或．
由，得，
所以，
因为，，可得，
因为，所以，
当且仅当，时取等号．
所以．
设与夹角为，则此时．
18.解：连接，交于点，
因为底面，底面，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以．
设，过作于，连接，
由知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以，
所以，
由，得，
所以，
所以，
解得，
即．
19.解：因为，即，
而，所以；
由知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．

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