2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期第一次阶段性测试数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年山东省济南市历城第一中学高一下学期第一次阶段性测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据的平均数为，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知在中，，若三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为( )
A. B. C. D.
8.中，，，是外接圆圆心，是的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中有学生人，其中男生人，女生人，为获得该校学生的身高单位：信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为的样本经计算得到样本中男生身高的平均数为，方差为；女生身高的平均数力，方差下列说法中正确的是( )
A. 样本中男生的人数为 B. 每个女生入样的概率均为
C. 样本的平均数为 D. 样本的方差为
10.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.对于，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 向量与共线
D. 过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将容量为的样本中的数据分成组，绘制频率分布直方图若第一组至第六组数据的频率之比为，且后三组数据的频数之和等于，则 ．
13.在中，角所对的边分别为，且若，则周长的最大值为 ．
14.在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数是的共轭复数．
求的值；
复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在年八省联考结束后，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
求出图中的值并估计本次考试及格率“及格率”指得分为分及以上的学生所占比例；
估计该校学生联考数学成绩的第百分位数；
估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
17.本小题分
已知的内角，，所对边分别为，，，的面积为，．
求的值；
若，求的周长．
18.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，是的中点．

求；
连接，交于点，求；
若，，，，为边上的等分点，当时，求的值．
19.本小题分
在中，对应的边分别为．
求；
奥古斯丁路易斯柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式柯西积分公式其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
用向量证明二维柯西不等式：；
已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值．
参考答案
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15.解：复数，且为纯虚数是的共轭复数，则
解得．
，
复数在复平面对应的点在第一象限，
解得．实数的取值范围是．
16.解：由频率分布直方图的性质，
可得，解得．
所以及格率为．
得分在分以下的学生所占比例为，
得分在分以下的学生所占比例为，
所以第百分位数位于内，
由，估计第百分位数为分．
由图可得，众数估计值为分．
平均数估计值为分．
17.解：根据余弦定理可得，，则，
所以；
因为，所以，
又的面积为，所以，即，
因为，结合正弦定理可得，
又，所以，解得，
所以，
所以，即，
所以的周长为．
18.解：因为，所以以为坐标原点，为轴，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以．

设，，
，所以，
所以，
所以，解得
所以．
在中，因为为中点，所以，
又因为是边的等分点，
，
所以，
所以
由得，
所以，
所以．
19.解：在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，
因为，所以，
故，又，所以；
设，由，得，
从而，即；
．
又，
．
由三维分式型柯西不等式有．
当且仅当即时等号成立．
由余弦定理得，
所以，即，
则，
令，则．
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值此时与可以同时取到

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