2024-2025学年湖北省荆州市公安县第三中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省公安县第三中学高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，若点满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
3.已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量满足，，且，则( )
A. B. C. D.
6.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
7.设，则的大小顺序为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则下列说法错误的是( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D. 点距离水面的高度米与时间秒之间的函数解析式为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.计算下列各式的值，其结果为的有( )
A. B.
C. D.
10.是边长为的等边三角形，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则
13.若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
14.已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，是不共线的两个非零向量．
若，，，求证：，，三点共线；
若与共线，求实数的值，并指出与反向共线时的取值．
16.本小题分
已知平面向量，的夹角为，且，，．
当时，求；
当时，求的值．
17.本小题分
已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求；
求的值；
若角是三角形内角，且，求的值．
18.本小题分
已知函数的最大值为．
求的值；
求函数的单调递减区间；
英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：，
19.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的解析式；
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
若函数在上有个零点，求的取值范围．
参考答案
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15.由，，，
得，
，
则，且有公共点，所以，，三点共线．
由与共线，则存在实数，使得，
即，又，是不共线的两个非零向量，
因此，解得或
所以实数的值是，当时，与反向共线．
16.
，故．
由条件知，故，
所以．
17.解：因为角终边过点，
所以点到原点的距离为，
所以；
由知：，
所以，
；
因为是三角形内角，且，
所以，
由知：，
所以，
当时，，
；
当时，，
．
18.
，
所以，即；
，
令，
即，，
所以函数的单调递减区间，
因为，
所以，
由泰勒公式得：
所以．
19.因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以．
因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
令，由知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有个公共点，

由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当时，，解得，
综上，的取值范围为．

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