2024-2025学年河南省驻马店高级中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省驻马店高级中学高一下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知正方形的边长为，则
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知平行四边形中，点为的中点，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径是( )
A. B. C. D.
8.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列命题一定成立的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10.已知复数，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是 ．
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
13.已知幂函数在上为增函数，则实数的值是 ．
14.郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高 米参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
求函数在上的单调递增区间．
16.本小题分
已知复数，是实数，是虚数单位．
求的值；
若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连．
求证：平面；
在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长．
18.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，且．
求；
设为的中点，；求：面积的最大值；的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，利用公式其中，，，为常数，将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称为坐标变换公式，该变换公式可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，表示．

在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点到原点距离不变，求点的坐标；
如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点到原点距离不变，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
向量称为行向量形式，也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，是平面上的任意单位向量，是平面上与不垂直的向量，且与夹角为，满足；当在方向上的投影向量模长为时，求矩阵．
参考答案
1.
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10.
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12.且
13.
14.
15.，
由，解得；
所以，函数图象的对称轴方程为；
当时，有，要使单调递增，
则需要，或，
解得，或；
故函数在上的单调递增区间为和．
16.因为，所以，
又因为是实数，
所以，即，
所以，
所以．
由知，，
所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
17.因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，．
18.由余弦定理可得，所以，，
由得，整理可得，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
所以，，
因为、、，所以，、、，有如下几种情况：
，即，矛盾；
，即，矛盾；
，可得，解得．
由余弦定理、基本不等式可得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为；
因为为边的中点，则，即，
所以，，
所以，，
又因为，
所以，，由知，
可得，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为．

19.由题，设以坐标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为，则，
将点绕原点按逆时针旋转得到点，
则以坐标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为，
则点的横坐标为，
纵坐标为．
故点坐标为：；
由题，设以坐标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为，则，
将点绕原点按逆时针旋转得到点
则以坐标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为，
则，
．
故坐标变换公式为，对应的二阶矩阵为；
设，，，
以坐标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为．
以坐标标系原点为顶点，轴正半轴为始边，终边过点的角为，
因在方向上的投影向量模长为，则．
若角终边逆时针旋转得到，则为得到满足题意的，
可将点绕原点逆时针旋转得到，
再将延长倍，即可得到
由中结论，
则．
由题，对应矩阵为；
若角终边顺时针旋转得到，即逆时针旋转得到，
为得到满足题意的，类似于上述过程，
可得
则
对应矩阵为．
综上，当，矩阵可为或；
当，矩阵可为或
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