2024-2025学年广东省中山市桂山中学高一下学期4月段考检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省中山市桂山中学高一下学期4月段考检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
2.若角的终边过点，则的值等于( )
A. B. C. D.
3.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若且，则的取值范围是 ．
A. B. C. D.
6.如果点是角终边上一点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列代数式的值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图若一半径为米的筒车水轮圆心距离水面米图，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，经过秒后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有( )
A. 关于的函数解析式为
B. 点第一次到达最高点需用时秒
C. 再次接触水面需用时秒
D. 当点运动秒时，距水面的高度为米
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为 ．
14.定义在上的函数，恒有，当时，，则方程的解为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点
求的值；
求的值、
16.本小题分
已知为锐角，．
求证：；
求的值．
17.本小题分
如图，在扇形中，，半径在上取一点，连接，过点分别向半径，作垂线，垂足分别为，，得到一个四边形．
设，将四边形的面积表示成的函数，并写出的取值范围；
求四边形的面积的最大值．
18.本小题分
已知函数．
先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间上的图象；
求该函数的周期，并写出方程的解集；
结合图象，写出函数的单调增区间．
19.本小题分
如图，函数的部分图象与直线交于，两点，点，在函数的图象上，且的面积为．
求函数的解析式；
设在上的两个零点为，求的值；
将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若在上至少有个零点，求最小正整数．
参考答案
1.
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13.
14.或
15.解：因为角的终边与单位圆交于点
所以解得．
因为，所以．
由三角函数的定义知，．
原式
16.解：由，得，又，
则，因此，即，
所以．
由得，
由为锐角且，得，
则，
所以．
17.解：，
，
由题意要得到四边形，则．
由知：，因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积的最大值为．
18.解：
，由图像得方程的解集为
由图像可知单调增区间为
和
所以函数的增区间为和．
19.解：因为，得到，
所以的一条对称轴为，
此时，则，从而解得，
又，且，得．
从而；
由题意得，
令，得到，
因为，，
所以，解得，
从而；
根据图象平移得，
令，则或，
由在上至少有个零点，易知，则，
所以，又为正整数，故最小正整数为．

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