2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高二下学期学生自主检测（二）数学试卷（4月份）（含答案）

2024-2025学年山东省鄄城县第一中学高二下学期学生自主检测（二）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校羽毛球队有名男队员，名女队员，现在需要派名男队员，名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.( )
A. B. C. D.
3.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
4.中国体育代表团在年巴黎奥运会获得金银铜共枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一创造了参加境外奥运会的最佳战绩巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于月日至月日访问香港澳门访问期间，甲乙丙名代表团团员与名青少年站成一排拍照留念，若甲乙丙互不相邻，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有个极值点
C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值
6.某位同学排成一排准备照相时，又来了位同学要加入，如果保持原来位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A. B. C. D.
7.我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号已知年是龙年，那么年后是( )
A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年
8.将名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知点在函数的图象上，点在直线上，若线段取得最小值时，点横坐标为，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班组织一次认识大自然的活动，有名同学参加，其中有名男生，名女生，现要从这名同学中随机抽取名同学去采集自然标本，则抽取的名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有 种．
13.函数的最小值为 ．
14.设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有组对称点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为．
求展开式中的常数项；
求展开式中二项式系数最大的项．
17.本小题分
已知函数的两个极值点分别为，．
求，的值，并求出函数的极值；
已知，求证：不等式在上恒成立．
18.本小题分
由，，，，，，这个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？
把个不同颜色的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放入个小球，有多少种不同的放法？
某书法兴趣小组有名组员，其中人只擅长硬笔书法，人只擅长软笔书法，其余人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的人参加软笔书法比赛每个人不能同时参加两个比赛，则不同的选择方法有多少种？
19.本小题分
对于函数，规定，，，，叫做函数的阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项．已知函数．
写出函数在处的阶泰勒展开式用表示即可；
设函数在处的阶余项为，求证：对任意的，；
求证：．
参考答案
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15.解：由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，所以函数的极小值为，极大值为．

16.解：由题意可得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
因为，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即，
所以展开式中二项式系数最大的项．

17.解：因为，所以，
因为函数的两个极值点分别为，，所以
解得，此时，．
所以当时，，当时，，当时，，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
满足的两个极值点分别为，，极大值点为，极小值点为，
所以函数的极大值为，极小值为．
证明：等价于，
即，
令，则，
若，则恒成立，在上单调递增，
所以；
若，令，得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，也是最小值．
令，，则，
所以在上单调递减，
．
综上所述，在上恒成立，
即不等式在上恒成立．

18.解：求没有重复数字的四位偶数的个数有两类：
个位数字为，共有个；个位数字不是，共有个，
所以没有重复数字的四位偶数的个数是．
把个不同颜色的小球按分成组的分法数为；按分成组的分法数为，
将每种分法所得组放入个不同盒子，有种放法，
所以不同的放法种数为．
求不同选法种数，有三类办法：
擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选人，有种；
擅长两种书法的选人，有种，
所以不同选法种数是．

19.解：由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
．
由可知，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，．
由可知，函数在处的阶泰勒展开式为
，
所以，
令，
则，
所以，
即．

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