2024-2025学年河北省衡水市第二中学高二下学期第二次调研考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省衡水市第二中学高二下学期第二次调研考试
数学试卷
一、单选题：本大题共9小题，共45分。
1.设是可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知个不全相等的正整数的平均数与中位数都是，则这组数据的极差为( )
A. B. C. D.
3.向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是( )
A. B. C. D.
4.若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示( )
A. 事件发生的概率 B. 事件发生的概率
C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件同时发生的概率
5.秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，随机变量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比某地区进行调研考试，共名学生参考，测试结果单位：分近似服从正态分布，且平均分为，离散系数为，则全体学生成绩的第百分位数约为( )附：若随机变量服从正态分布．
A. B. C. D.
8.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是( )
A. B. C. D.
9.函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
10.表示三个随机事件，判断下列选项正确的是( )
A. 已知是事件与事件相互独立的充要条件
B. 已知，则
C. 已知是事件与事件互斥的充要条件
D. 已知，则
11.一组样本数据其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则( )
A. 样本负相关 B.
C. D. 处理后的决定系数变大
12.某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则( )
A. 若，，则取最大值时
B. 当时，取得最小值
C. 当时，为奇数时，随着的增大而增大
D. 当时，为偶数时，随着的增大而增大
三、填空题：本大题共2小题，共10分。
13.盒子里装有大小相同的个红球和个白球，每次从中有放回取个球，连续取次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是 ．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙、丙的概率均为，乙传给甲、丙的概率分别为、；丙传给甲、乙的概率分别为、则次传球后球在甲手中的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示：
编号
参考数据：，，．
假设变量关于的一元线性回归模型为．
求关于的经验回归方程；
设为时该回归模型的残差，求、、、、的方差．
参考公式：，
16.一项试验旨在研究臭氧效应实验方案如下：选只小白鼠，随机地将其中只分配到实验组，另外只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量单位：．
设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：


实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：


求只小鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组
实验组
根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
17.智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：级；直径在到之间；级：直径在到之间；级：直径在到之间；级：直径在到之间；级：直径在以上某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品现从某批次的车厘子中随机抽取颗直径位于至之间作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数按四舍五入取整数作为的近似值若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率保留小数点后两位数字；同一组中的数据用该组区间的中点值代表；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望．
18.某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．
若安排名人员负责维护台设备，求这台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；
设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间甲车间有台设备和名维护人员，将台设备平均分配给人，每名维护人员只负责维护分配给自己的台设备；乙车间有台设备和名维护人员，台设备由这人共同负责维护若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低．
19.小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多．奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园．
若小王选择的园区初始有个橙子和个苹果，小明选择的园区初始有个橙子和个苹果，且分别求小王第次采到橙子的概率和小明第次采到橙子的概率，并比较大小；
小王和小明经多次采摘试验，大胆猜测：无论初始时橙子和苹果的个数是多少，两人每一次采摘到橙子的概率都相等，请说明猜测正确吗？并说明理由；
若初始有个橙子和个苹果，求第次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望．用，，表示．
附：若随机变量服从两点分布，且，，
参考答案
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15.由题意得，，
代入公式得，
则，
所以关于的经验回归方程为．
由，计算得该回归模型的残差如下表所示：
而、、、、的平均数为，
则由方差公式得残差的方差为．
16.依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故．
依题意，可知这只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第位与第位数据的平均数，观察数据可得第位为，第位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组
实验组
合计
由可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
17.由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为：
，
即，，所以，
则，
所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为．
由频率分布直方图可知，所以所取样本个，
直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为：
，，
，，
随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
18.设台设备自动模式不出故障的台数记为，则
记“名人员维护台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件．
则．
甲车间分得的两个小组相互对立，由知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率
设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件．
则
乙车间台设备自动模式不出故障的台数记为
记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件．
，
故乙车间生产稳定性更高．
19.记第次采摘到橙子的概率是，则第次采摘到苹果的概率是，
对于小明，，由全概率公式可得：
同理，对于小王：
故小王第次采摘到橙子的概率和小明第次采摘到橙子的概率大小相等均为．
设第次采摘时有个橙子和个苹果，
则；，
由全概率公式可得：
所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等．
设第次采摘到橙子的个数为．，
则，所以服从两点分布．
记第次采摘后，累计采摘到的橙子个数是，
则，所以．

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