江苏省无锡市江阴市六校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高一数学
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，向量，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
已知单位向量的夹角为，则||=（ ）
A．1 B． C． D．3
4．“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面
C．两条平行直线确定一平面 D．两条相交直线确定一平面
5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ）
A． B．
C． D．
6. 在中，，，，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 一解 C. 两解 D. 解的个数不确定
7. 设分别是的内角的对边，已知是边的中点，的面积为1，且，设则等于（ ）
A． B． C. D.2
8．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则该直三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C．在复平面内的对应点位于直线上 D．为方程的一个根
10.如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线
C．与平行 D．直线与共面
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．在向量上的投影向量为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知平面向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则 .
13．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米．
14.如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点，则= ；则 = .
解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
(1)求；
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16.（本小题15分）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若向量，，求与夹角的余弦值.
17．（本小题15分）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，等腰直角三角形的面积为.
(1)求圆锥的表面积；
(2)若点是的一个三等分点，求三棱锥的体积.
18．(本题满分17分)如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.
(1)求的大小;
(2)若,求的面积.
19.（本小题17分）如图，圆的半径为，其中、为圆上两点.
(1)若，当为何值时，与垂直？
(2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值.
(3)若的最小值为，求的值.
2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高一数学答案
单选题：
1-4.A C C B 5-8. D C B A
二、选择题：
9.BCD 10.BD 11.ABD
三、填空题：
12. 1 13. 14. ,
解答题：
15.（1）设，，
因为为实数，所以，即 ............................................................................（2分）
所以，
又因为为纯虚数， 所以即，所以，..................................（4分）
所以........................................................................................................（6分）
由（1）知， ，
所以，................................................（9分）
又因为在复平面上所对应的点在第一象限，
所以 ，...........................................................................................................（11分）
解得：，
所以实数的取值范围为...................................................................................................（13分）
16.（1）因为，，
所以，.
由，可得，即，解得，....................................（3分）
所以，.........................................................................................................................（5分）
故...................................................................................................................................（7分）
（2）因为向量，，所以，所以..................................................（9分）
则，，.....................................................................................................（11分）
所以，
所以与夹角的余弦值为...........................................................................................（15分）
17.（1）等腰直角三角形中，又因为其面积为，
所以，即圆锥底面半径，........................................................................（2分）
圆锥母线长为：，........................................................................................（4分）
所以圆锥SO的表面积为：．...................................................（7分）
（2）在底面圆中为直角三角形，不妨设点B靠近点C，
可得．...................................................（9分）
由此可得的面积，........................................................................（12分）
所以．.....................................................................（15分）
18.（1）因为是的角平分线,所以,
在中,根据余弦定理得,
所以,.................................................................................................................................（3分）
则,..................................................................（6分）
因为,所以............................................................................................（7分）
（2）因为,所以,..............（9分）
在中,由正弦定理得,.......................（12分）
在四边形中,,
所以,............................（15分）
则......................................................（17分）
19.（1）因为，，
所以由余弦定理得，
即，即，解得，.....................................（2分）
由平面向量数量积的定义可得，
若与垂直，则，
所以，所以，解得，
即当时，与垂直..................................................................................（5分）
（2）因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于、、三点共线，所以存在实数使得，
所以，化简为，
因为、不共线，所以，，所以，所以.............................（8分）
显然，，则，
当且仅当时，即当时，取最小值................................................（11分）
（3）设，取线段的中点，连接，则，
则，
又
，...........................................................................（14分）
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值时，．.............................................................................（17分）