8.3 完全平方公式与平方差公式 （含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.3 完全平方公式与平方差公式
第 1 课时 完全平方公式
基础过关全练
知识点1 完全平方公式
1.(2024河北秦皇岛山海关一模)与( 相等的是 ( )
2.(2024安徽安庆期中)下列多项式中，是完全平方式的是 ( )
3.下列式子中能用完全平方公式计算的是 ( )
A.(s+t)(s-t) B.(s+t)(t-s)
C.(-s-t)(s-t) D.(-s+t)(s-t)
4.数形结合思想(2024 安徽池州贵池期末)如图，正方形中阴影部分的面积为 ( )
A.(a-b) C.(a+b)
5.如果整式： mx+9恰好是一个整式的平方，那么m 的值是 ( )
A.±3 B.±4.5 C.±6 D.9
6.根据完全平方公式计算：
( );
7.计算:
(1)(2024江苏无锡中考)(a(a-2b)+(a+b) .
(2)(2024安徽合肥四十五中三模)(2a+b)(a-2b)+
(3)(2024 安徽合肥蜀山期末)
(4)(2024安徽合肥四十二中三模)(a-4)(a+2)-
8.利用完全平方公式计算
(1)998 . (2)1002 .
9.已知x+y=3, xy=-1,试求下列代数式的值：
x-y.
10.(1)如图所示的是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分的面积用两种方法表示可得一个等式，这个等式为 .
(2)若 求 xy的值.
能力提升全练
11.若 16是一个完全平方式,则 m 的值是( )
A.10 B.-10
C.-6或10 D.10或-10
12.若k为任意整数,则(2k+ 的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
13.若 n,则 ( )
B. m-2n
14.若x 满足 ,则(2021-x) ·(x-2020)的值是 ( )
A.-1 006 B.-1 007
C.-1008 D.-1 009
15.已知a+b=7, ab=11,则a-b= .
16.(2023 安徽六安三模,18, )先化简,再求值: 其中x=-1,y=2.
17.(2024安徽淮南谢家集期末,20(2), )将边长为x的小正方形ABCD 和边长为y 的大正方形CEFG按如图所示的方式放置，其中点D 在边CE上,连接AG,EG,若x+y=8, xy=14,求阴影部分的面积.
18.(2024湖南益阳沅江期末，25， )某校举办数学开放日活动，创新学习小组的同学用两种边长分别为m和n(n(1)用含m,n的代数式分别表示S ,S .
(2)若m-n=2, mn=79,求, 的值.
(3)图3 中阴影部分的面积为 S ，请找出 S ，S ，S 之间的数量关系，并说明理由.
中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 平方差公式
基础过关全练
知识点2 平方差公式
1.(2024安徽宿州埇桥月考)将 2 024×2 026 进行变形,正确的是 ( )
2.(2024 四川遂宁中考)下列运算结果正确的是 ( )
A.3a-2a=1
D.(a+3)(a-3)=a -9
3.(2024 安徽合肥包河期中)下列不能用平方差公式计算的是 ( )
A.(x+y)(x-y) B.(-x+y)(x-y)
C.(-x+y)(-x-y) D.(-x+y)(x+y)
4.(2024安徽合肥包河期中)如果(3m+2)(3m-2)=77,那么m 的值为 .
5.教材变式若单项式4x 加上另一个单项式后符合平方差公式，则添加的单项式可能是 .(填序号)
①1;②-1;③-x ;
6.若( 则 的值为 .
7.如图所示的是从某校八年级(1)(2)两个班级的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m、n的正方形，其中重叠部分 B 为池塘，阴影部分S 、S 分别表示八年级(1)(2)两个班级的基地面积.若m+n=8,m--n= 2,则
8.运用乘法公式计算:
(1)(2x+3y)(2x-3y). (2)(2m-n)(-2m-n).
(3)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y).
9.(2024陕西榆林二模)求证：对于任意整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10整除.
能力提升全练
10.已知 则(2a+3)(2a-3)+(2a-1) 的值是 ( )
A.6 B.-5 C.-3 D.4
11.已知M=2 024 ,N=2023×2 025,则 M 与 N 的大小关系是 ( )
A. M>N B. MC. M=N D.不能确定
12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如 因此4,12,20都是“神秘数”，则下列各数是“神秘数”的为 ( )
A.56 B.60 C.62 D.88
13.如果a,b,c满足 则 abc等于 ( )
A.9 B.27 C.54 D.81
14.(2024安徽合肥五十中期中,7,)如图,点A、D、E在同一直线上，大正方形 DEFG与小正方形ABCD 的面积之差是24,则阴影部分的面积是 ( )
A.12 B.18 C.24 D.32
15.先化简,再求值: 其中 1.
素养探究全练
如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE 和长方形EFHD 为阴影部分;将图 1中的长方形 ABGE 和长方形 EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形
(1)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式为 .
(2)利用公式可知： 则a= .
(3)利用所得公式计算：
微专题 完全平方公式的灵活应用
完全平方公式经过适当变形，可以解决很多数学问题.例如:若a+b=3, ab=1,求( 的值.解:因为a+b=3, ab=1,所以( 2，所以 所以
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
1.(2024四川达州通川期末)已知 那么( 的值为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.(2024 浙江宁波鄞州期末)若 84,则 ab= ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
3.(2024广东茂名信宜月考)若 则a+b= ( )
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1 课时 完全平方公式
基础过关全练 故选D.
② C因为 所以选项 C 中的多项式是完全平方式.
③D在选项D中,(-s+t)(s-t)=-(s-t)(s-t)=-(s-t) ，故选项D中的式子能用完全平方公式计算；选项A、B、C中的式子都不能用完全平方公式计算.故选 D.
故选D.
5 C 因为整式 恰好是一个整式的平方，所以mx=±2 ·x · 3=±6x,,解得m=±6.故选 C.
·易错警示
当完全平方式的一次项系数含有字母时，该字母有正负两种情况.
6答案 (1)4ab;-4ab (2)-2
解析 (1)由完全平方公式，得( 通过移项，可得 故答案为4ab;-4ab.
(2)根据完全平方公式，得 故答案为-2.
⑦解析 (1)原式:
(2)原式:
(3)原式:
=2x+6.
(4)原式:
=-9.
8解析 (1)原式: 996004.
(2)原式= 1 000 000+4 000+4=1 004 004.
(3)原式:
=40 000-1 200+9+40 000+1 200+9
=80018.
⑨解析 (1)因为 -1,
所以
(2)因为
所以
所以
⑩解析
(2)因为 所以 xy=10.
能力提升全练
11 C 因为 是一个完全平方式，所以 或x +(m-2)x+16=(x-4) ,所以m-2=±8,解得m=-6或10.故选 C.
3)，因为k为任意整数，所以( 的值总能被3整除.故选 B.
13 C 因为 所以原式 故选 C.
14 D【解法一】设2021-x=a,x-2020=b,则(2021- (x-2020)= 1,所以(2 021-x)(x-2 020)= ab =
【解法二】设x-2020=m,则2 021-x=1-m,则(1- 整理，得 ,所以(2021-
答案
解析 因为a+b=7, ab=11,所以( 所以
·易错警示
本题在利用开方求(a-b)的值时易丢根.
解析 原式
当x=-1,y=2时,原式=2-2×(-1)-3=1.
解析 根据题意，得 SB阴影部分 = S正方形ABCD+S 正方形CEFG
当x+y=8, xy=14时,
原式
=32-21
=11.
故阴影部分的面积是11.
解析 (1)S 可以看作是两个正方形的面积差，即
S 是长为n，宽为2n-m的长方形的面积，
即
(2)因为m-n=2, mn=79,
所以
=4+79
=83.
理由如下：
因为
所以
第2课时 平方差公式
基础过关全练
① A 原式=(2025-1)×(2025+1)=2 025 -1.故选 A.
②D 故选项A,B,C错误，选项D正确.故选 D.
③B 选项A、C符合平方差公式的结构特点；B.(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)=-(x-y) ,故选项B能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算；D.(-x+y)(x+y)=(y-x)(y+x),符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式计算.故选 B.
④ 答案 ±3
解析 因为(3m+2)(3m-2)=77,
所以 所以 所以m=±3.
⑤答案 ②③④
⑥答案 7
解析 因为( 所以 即 所以 又因为 所以
⑦答案 16
解析 因为m+n=8,m-n=2,所以(m+n)(m-n)= 所以
⑧解析 (1)原式=
(2)原式:
(3)原式
(4)原式
⑨证明 原式
因为n为整数，所以 能被10整除，
所以对于任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10整除.
能力提升全练 全练版 P44
10 D 原式= 因为 所以 ,所以原式=4×3-8=4.故选 D.
11 A M= 2 024 ,N=2 023×2 025=(2 024-1)× 因为 1)=1>0,所以M>N.故选 A.
12B 因为4=4×1,12=4×3,20=4×5,所以“神秘数”是奇数的4倍，四个选项中，只有60符合题意，故60是“神秘数”.故选 B.
13 B 因为 0，所以 所以a=b,b=c,c=3,即a=b=c=3,所以 abc=27.故选 B.
14 A 设小正方形ABCD 的边长为a,大正方形 DEFG的边长为b，则 所以 12.故选 A.
解析 原式
当 时，
原式
素养探究全练
解析 (1)题图1中阴影部分的面积为 题图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，二者相等，所以
故答案为(
(2)原式 所以a=4.
(3)原式
=2.
微专题 完全平方公式的灵活应用
①B因为 所以 2×2=4+4=8.故选 B.
② B 因为 所以 所以2ab=16,解得 ab=8.故选 B.
③ C 因为 所以 所以( 所以 故选C.