8.4 因式分解 同步练习（含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4 因式分解
第1 课时 因式分解及提公因式法
基础过关全练
知识点 1 因式分解的定义
1.(2024安徽安庆太湖月考)下列等式从左到右的变形，是因式分解的是 ( )
2.把 因式分解，得(m-1)(m+4),则(a+b= .
知识点2公因式及提公因式法因式分解
3.(2024 安徽安庆太湖月考)多项式 的公因式是 ( )
B.2a b C. a b
4.将 因式分解，应提取的公因式是 ( )
5.因式分解：
(1)(2024 江苏宿迁中考)
(2)(2024 浙江中考)(
(3)(2024 陕西中考)(
6.把下列多项式因式分解:
(4)a(a+b)(b-a)-b(a+b)(a-b).
能力提升全练
7.(2024 广西桂林期末，6，★☆)用提公因式法因式分解多项式： 公因式是 ( )
A.8a b C.4ab D.4a b
8.情境题·现实生活 (2024 山东青岛市南期末，4，)农场里有一个长方形鸡舍，如图，长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为a，b，周长为10,且 则鸡舍的面积为( )
A.6 B.10 C.3 D.8
9.(2023湖北十堰中考,12,★☆)若x+y=3, xy=2,则 的值是
10.若实数x满足 则
11.(2024安徽宿州埇桥期中，20， )阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是 .
(2)分解因式 的结果是 .
(3)利用(2)中的结论计算： 52023.
第2 课时 公式法 (1)
基础过关全练
知识点3 公式法因式分解
1.(2024安徽六安舒城期末)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
2.把 分解因式，结果正确的是 ( )
B.(-x-y) C.-(x-y) D.-(x+y)
3.若 2)x+9能用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ( )
A.6 B.8或-4
C.6或-6 D.0
4.一题多解(2024 安徽安庆太湖月考)若k 为任意整数，则( 的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
5.已知多项式 请补充一项，使得形成的新的多项式能运用完全平方公式进行因式分解，则补充的一项不能是( )
A. a B.-a C. a D. a
6.因式分解:
(1)(2024江苏常州中考):
(2)(2024 四川广元中考)(
(3)(2024 四川广安中考)(a -9a= ;
(4)(2024内蒙古中考)(
7.把下列各式因式分解
能力提升全练
8.下列因式分解正确的是 ( )
9.(2024广西中考,10, )如果a+b=3, ab=1,那么 的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
10当n为正整数时，代数式 的值一定是下面哪个数的倍数 ( )
A.3 B.5 C.7 D.8
11.(2024安徽六安舒城期末,5, )当x>0,y>0,且x≠y时, 的值( )
A.总是为正
B.总是为负
C.可能为正，也可能为负
D.不能确定正负
12.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则 ( )
13.(2024安徽淮南谢家集期末，16， )把下列各式因式分解:
14.阅读下面材料，并解决问题.
因式分解：
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A.
则原式
再将“A”还原，原式
上述解题过程中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法
(1)因式分解：
(2)试说明：若n为正整数，则式子( n+2)+1的值一定是某个整数的平方.
15.对于一个正整数N，若N满足 ab(a,b为正整数),且a=3k+1,b=3k-1(其中 k为自然数)，则称 N为“幸运整数”.例如：当k=1时,a=4,b=2,则N=12,所以12是“幸运整数”
(1)求三位数中最大的“幸运整数”.
(2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”.
16.阅读材料：形如 的式子叫作完全平方式.有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等方法，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用.
示例：用配方法求代数式 的最小值.
解：原式：
因为 所以
所以 的最小值为-1.
(1)若代数式. 是完全平方式，则常数k的值为 .
(2)用配方法求代数式 的最小值.
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(3)若实数a,b满足 求a+b的最小值.
第3课时 公式法 (2)
基础过关全练
知识点 4 分组分解法因式分解
1.用分组分解法分解多项式 时，下列分组方法正确的是 ( )
2.把多项式 用分组分解法分解因式,正确的分组方法应该是 ( )
3.(2024安徽淮北三模)因式分解：
4.(2024安徽宣城模拟)因式分解： .
5.(2023黑龙江绥化中考)因式分解： .
6.把下列各式分解因式:
能力提升全练
7.下列各式不是 的因式的是 ( )
A. x-1 B. x+1
C.2x-1 D. x-2
8.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法.有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式.如分解因式： 4y )+(-2x+4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫作分组分解法.利用这种方法解决以下问题：
三角形 ABC 的三边长a,b,c满足 bc=0,试判断三角形ABC的形状.
9.阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如： 细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为 mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n) ·(m+2).该“社团”将此种因式分解的方法叫作“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：
(2)已知m+n=5,m-n=1,求 的值.
(3)分解因式：
素养探究全练
10.【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：(ax+b)· .我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx +(ad+ bc)x+ bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可把 看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数 ac与常数项 bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式 11x+12 的二次项系数2 与常数项12 分别进行适当分解，如图2，则 (2x+3).
根据阅读材料解决下列问题：
【应用新知】
(1)用十字相乘法分解因式：
(2)用十字相乘法分解因式：
【拓展提升】
(3)结合本题知识，分解因式： y)-20.
8.4 因式分解
第1 课时 因式分解及提公因式法
基础过关全练
①C 因式分解是将多项式分解成几个因式乘积的形式，等式的右边是几个因式的乘积，故选项 A、B、D中的变形不是因式分解，选项 C 中的变形是因式分解.
②答案 - 1
解析 则a=3,b=-4,所以a+b=3+(-4)=-1.
③C因为 2abc,所以公因式为a b.故选 C.
④A 因为 4b(x-y)]，所以应提取的公因式为 故选 A.
⑤答案 (1)x(x+4) (2)a(a-7) (3)a(a-b)
解析 (1)原式=x·x+x·4=x(x+4).
(2)原式:=a· a-7· a=a(a-7).
(3)原式=a·a-a·b=a(a-b).
⑥解析 (1)原式=-2x·2x+(-2x)·(-5)=-2x(2x-5).
(2)原式:=y·3y-y·5x-y· 1=y(3y-5x-1).
(3)原式=
(4)原式=a(a+b)(b-a)+b(a+b)(b-a)
=(a+b)(b-a)(a+b)
(5)原式:
能力提升全练
⑦D 原式 故公因式为4a b.故选 D.
,由题意得2(a+b)=10,所以a+b=5,所以 ab=30÷5=6.故鸡舍的面积为 ab=6.故选 A.
⑨答案 6
解析 因为x+y=3, xy=2,所以 2×3=6.
⑩答案 2020
解析 【解法一】因为 所以 x=1,所以
-1+2021=2 020.
【解法二】因为 所以 所以原式=x (x-2)+2021=(x+1)(x-2)+2021=x -x-2+2021=1-2+2021=2020.
解析 (1)提公因式法.
(2)原式:=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1) ]
故答案为(
(3)原式
第2 课时 公式法 (1)
基础过关全练
① C用平方差公式进行因式分解时，多项式的结构要符合平方差的形式，选项中只有多项式 符合,故选 C.
2 C 原式: 故选 C.
③B 因为 9能用完全平方公式进行因式分解，所以. 或 所以k-2=6或k-2=-6,解得k=8或-4.故选 B.
④ C【解法一】因式分解法:原式=(k+5+k)(k+5-k)=5(2k+5),因为k为任意整数,所以 的值总能被5 整除.故选 C.
【解法二】整式运算法：原式 5),所以( 的值总能被5整除.故选 C.
5CA.补充a,则 B.补充-a，则 C..补充a ，则多项式 无法进行因式分解；D.补充a ，则 故选 C.
⑥答案 (1)(x-2y) (2)(a-1) (3)a(a+3)(a-3) (4)a(b+1)
解析 (1)原式:
(2)原式:
(3)原式
(4)原式
⑦解析
(3)原式
(4)原式:
=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]
=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)
=(9a+b)(-a-9b)
=--(9a+b)(a+9b).
能力提升全练
故A错误； (a+2b-1)(a-2b+1),故B正确; 故C 错误； 故D错误.故选 B.
9D 因为a+b=3, ab=1,所以原式
10 D 原式=[[(2n+1)-(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)]=8n，故当n是正整数时， 是8的倍数.故选 D.
因为x>0,y>0,且x≠y,所以(x- 故选 A.
12 D 因为a-2b+c=0,a+2b+c<0,所以 所以a+2b+c=(a+c)+2b=4b<0,所以b<0,所以 即 故选 D.
解析
=(x-3)(x+2)(x-2).
解析 (1)因为
所以将“a-2b”看成整体,令a-2b=A,
则原式
=(A+3)(A-3),
再将“A”还原，
原式=(a-2b+3)(a-2b-3).
(2)将 ’看成整体，令
则原式：=B(B+2)+1
因为n为正整数，
所以 也为正整数，
所以 的值一定是某个整数的平方.
解析 (1)因为 b(a,b为正整数),且a=3k+1,b=3k-1(其中k为自然数),
所以
当k=10时,
当k=11时,
所以三位数中最大的“幸运整数”为903.
(2)由(1)知，“幸运整数”N可表示为 (k为自然数)，
则当k=m,n(m>n)时得到的“幸运整数”为
由题意可知，
所以
所以(m+n)(m-n)=8,
因为m，n为自然数，
所以m=3,n=1,
所以
所以这两个“幸运整数”为84，12.
解析 (1)因为 是完全平方式，
所以
故答案为16.
因为
所以
所以 的最小值是2.
(3)因为
所以
所以
因为
所以
所以a+b的最小值为4.
第3课时 公式法 (2)
基础过关全练
① C)将该多项式转化为 再用完全平方公式与平方差公式分解因式.故选 C.
②B 原式 y)=(2x+y)(2x-y-1).故选 B.
③答案 (a-b+2)(a-b-2)
解析 原式
④答案 (m+2)(m-1)(m-4)
解析 原式 2)(m-1)(m-4).
⑤答案 (x+y)(x-z)
解析 原式 (x+y)(x-z).
⑥解析 (1)原式=(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)
=(2a-b)(2a+b+2).
(2)原式:
=(x-y+1)(x-y-1).
(3)原式:
=(3x+y)(3x-y)+2(3x+y)
=(3x+y)(3x-y+2).
(4)原式
=(x+a+y-b)(x+a-y+b).
能力提升全练
7A 原式
所以不
是 的因式的是x-1.故选 A.
⑧解析 由
得
所以a(a-b)-c(a-b)=0,
所以(a-b)(a-c)=0,
所以a-b=0或a-c=0,即a=b或a=c,
所以三角形ABC是等腰三角形.
9解析
=(m+n)(m-n)-2(n-m)
=(m+n)(m-n)+2(m-n)
=(m-n)(m+n+2),
因为m+n=5,m-n=1,
所以原式：=1×(5+2)=7.
(3)原式
素养探究全练
⑩解析
=[2(x+y)-5][3(x+y)+4]
=(2x+2y-5)(3x+3y+4).